Bài 54 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Vẽ đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) trên cùng một hệ trục tọa độ a) Qua điểm \(B(0; 4)\) kẻ đường thẳng song song với trục Ox. Nó cắt đồ thị của hàm số \(y = {1 \over 4}{x^2}\) tại hai điểm M và M’. Tìm hoành độ của M và M’. b) Tìm trên đồ thị của hàm số \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) điểm N có cùng hoành độ với M, điểm N’ có cùng hoành độ với M’. Đường thẳng NN’ có song song với Ox không? Vì sao? Tìm tung độ của N và N’ bằng hai cách: - Ước lượng trên hình vẽ: - Tính toán theo công thức. Giải: Vẽ đồ thị hàm số: * Hàm số \(y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) - Tập xác định \(D = R\) - Bảng giá trị - Đồ thị hàm số \(y = {1 \over 4}{x^2}\) và \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) là các Parabol có đỉnh là gốc tọa độ O và nhận Oy làm trục đối xứng. Đồ thị hàm số \(y = {1 \over 4}{x^2}\) nằm trên trục hoành, đồ thị hàm số \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) nằm dưới trục hoành. a) Đường thẳng qua \(B(0; 4)\) song song với \(Ox\) cắt đồ thị tại hai điểm \(M, M'\) (xem trên đồ thị). Từ đồ thị ta có hoành độ của \(M\) là \(x = 4\), của \(M'\) là \(x = - 4\). b) Trên đồ thị hàm số \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) ta xác định được điểm \(N\) và \(N’\) có cùng hoành độ với \(M, M’\). ta được đường thẳng \(M, M’\) Tìm tung độ của \(N, N’\) - Ước lượng trên hình vẽ được tung độ của \(N\) là \(y = - 4\); của \(N’\) là \(y = -4\) - Tính toán theo công thức: Điểm \(N\) trên \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) có \(x = 4\) nên \(y = - {1 \over 4}{.4^2} = - 4\) Điểm \(N’\) trên \(y = - {1 \over 4}{x^2}\) có \(x = 4\) nên \(y = - {1 \over 4}.{( - 4)^2} = - 4\) Vậy tung độ của \(N, N’ = -4\). Bài 55 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Cho phương trình \(x^2 – x – 2 = 0\) a) Giải phương trình b) Vẽ hai đồ thị \(y = x^2\) và \(y = x + 2\) trên cùng một hệ trục tọa độ. c) Chứng tỏ rằng hai nghiệm tìm được trong câu a) là hoành độ giao điểm của hai đồ thị. Hướng dẫn làm bài: a) Giải phương trình: \(x^2 – x – 2 = 0\) \(\Delta = (-1)^2– 4.1.(-2) = 1 + 8 > 0\) \(\sqrt\Delta= \sqrt9 = 3\) \(\Rightarrow {x_1} = -1; {x_2}= 2\) b) Vẽ đồ thị hàm số - Hàm số \(y = x^2\) + Bảng giá trị: - Hàm số \(y = x + 2\) + Cho \(x = 0 ⇒ y = 2\) được điểm \(A(0;2)\) + Cho \(x = -2 ⇒ y = 0\) được điểm \(B(-2;0)\) Đồ thị hàm số: c) Ta có phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị là: \({x^2} = x + 2 \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \Leftrightarrow \left\{ \matrix{{x_1} = - 1 \hfill \cr {x_2} = 2 \hfill \cr} \right.\) Điều này chứng tỏ rằng đồ thị đường thẳng cắt đồ thị parapol tại hai điểm có hoành độ lần lượt là \(x = -1; x= 2\). Hai giá trị này cũng chính là nghiệm của phương trình \(x^2 - x - 2 = 0\) ở câu a). Bài 56 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\) b) \(2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\) c) \({x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\) Hướng dẫn làm bài: a) \(3{{\rm{x}}^4} - 12{{\rm{x}}^2} + 9 = 0\) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) Ta có phương trình: \(\eqalign{ & 3{t^2} - 12t + 9 = 0 \cr & \Leftrightarrow {t^2} - 4t + 3 = 0 \cr} \) Phương trình có \(a + b + c = 0\) nên có hai nghiệm \({t_1} = 1; {t_2} = 3\) (đều thỏa mãn) Với \({t_1} = 1 \Rightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\) Với \({t_2} = 3 \Rightarrow {x^2} = 3 \Leftrightarrow x = \pm \sqrt 3\) b) \(2{{\rm{x}}^4} + 3{{\rm{x}}^2} - 2 = 0\) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) Ta có phương trình : \(\eqalign{ & 2{t^2} + 3t - 2 = 0 \cr & \Delta = 9 + 16 = 25 \Rightarrow \sqrt \Delta = 5 \cr & \Rightarrow {t_1} = {{ - 3 + 5} \over 4} = {1 \over 2}(TM);{t_2} = - 2(loại) \cr}\) Với \(t = {1 \over 2} \Rightarrow {x^2} = {1 \over 2} \Leftrightarrow x = \pm \sqrt {{1 \over 2}} = \pm {{\sqrt 2 } \over 2}\) c) \({x^4} + 5{{\rm{x}}^2} + 1 = 0\) Đặt \(t = {x^2}\left( {t \ge 0} \right)\) Ta có phương trình : \(t^2 + 5t + 1 = 0\) \(\Delta = 25 – 2 = 21\) \(\eqalign{ & \Rightarrow {t_1} = {{ - 5 + \sqrt {21} } \over 2} < 0(loại) \cr & {t_2} = {{ - 5 - \sqrt {21} } \over 2} < 0(loại) \cr} \) Vậy phương trình vô nghiệm Bài 57 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Giải các phương trình: a) \(5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11\) b) \({{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6}\) c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\) d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\) e) \(2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right)\) f) \({x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right)\) Hướng dẫn làm bài: a) \(\eqalign{ & 5{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 2{\rm{x}} + 11 \cr & \Leftrightarrow 5{{\rm{x}}^2} - 5{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x - 2 = 0 \cr}\) Phương trình có \(a – b + c = 1 + 1 – 2 = 0\) nên có 2 nghiệm \({x_1}= -1; {x_2}= 2\) b) \(\eqalign{ & {{{x^2}} \over 5} - {{2{\rm{x}}} \over 3} = {{x + 5} \over 6} \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 20{\rm{x}} = 5{\rm{x}} + 25 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 25{\rm{x}} - 25 = 0 \cr & \Delta = {25^2} + 4.6.25 = 1225 \cr & \sqrt \Delta = 35 \Rightarrow {x_1} = 5;{x_2} = - {5 \over 6} \cr} \) c) \({x \over {x - 2}} = {{10 - 2{\rm{x}}} \over {{x^2} - 2{\rm{x}}}}\) ĐKXĐ: \(x ≠ 0; x ≠ 2\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {x^2} = 10 - 2{\rm{x}} \cr & \Leftrightarrow {x^2} + 2{\rm{x}} - 10 = 0 \cr & \Delta ' = 1 + 10 = 11 \cr & \Rightarrow {x_1} = - 1 + \sqrt {11} (TM) \cr & {x_2} = - 1 - \sqrt {11} (TM) \cr} \) d) \({{x + 0,5} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{7{\rm{x}} + 2} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}}\) ĐKXĐ: \(x \ne \pm {1 \over 3}\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow {{2{\rm{x}} + 1} \over {3{\rm{x}} + 1}} = {{14{\rm{x}} + 4} \over {9{{\rm{x}}^2} - 1}} \cr & \Leftrightarrow \left( {2{\rm{x}} + 1} \right)\left( {3{\rm{x}} - 1} \right) = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} + x - 1 = 14{\rm{x}} + 4 \cr & \Leftrightarrow 6{{\rm{x}}^2} - 13{\rm{x}} - 5 = 0 \cr & \Delta = {( - 13)^2} - 4.6.( - 5) = 289 \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {289} = 17 \cr & \Rightarrow {x_1} = {5 \over 2}(TM) \cr & {x_2} = - {1 \over 3}(loại) \cr} \) e) \(\eqalign{ & 2\sqrt 3 {x^2} + x + 1 = \sqrt 3 \left( {x + 1} \right) \cr & \Leftrightarrow 2\sqrt 3 {x^2} - \left( {\sqrt 3 - 1} \right)x + 1 - \sqrt 3 = 0 \cr & \Delta = {\left( {\sqrt 3 - 1} \right)^2} - 8\sqrt 3 \left( {1 - \sqrt 3 } \right) \cr & = 15 - 2.5.\sqrt 3 + 3 = {\left( {5 - \sqrt 3 } \right)^2} \cr & \sqrt \Delta = \sqrt {{{\left( {5 - \sqrt 3 } \right)}^2}} = 5 - \sqrt 3 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{\sqrt 3 - 1 + 5 - \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{\sqrt 3 } \over 3} \cr & {x_2} = {{\sqrt 3 - 1 - 5 + \sqrt 3 } \over {4\sqrt 3 }} = {{1 - \sqrt 3 } \over 2} \cr}\) f) \(\eqalign{ & {x^2} + 2\sqrt 2 x + 4 = 3\left( {x + \sqrt 2 } \right) \cr & \Leftrightarrow {x^2} + \left( {2\sqrt 2 - 3} \right)x + 4 - 3\sqrt 2 = 0 \cr & \Delta = 8 - 12\sqrt 2 + 9 - 16 + 12\sqrt 2 = 1 \cr & \sqrt \Delta = 1 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 - 2\sqrt 2 + 1} \over 2} = 2 - \sqrt 2 \cr & {x_2} = {{3 - 2\sqrt 2 - 1} \over 2} = 1 - \sqrt 2 \cr} \) Bài 58 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Giải các phương trình a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\) b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\) Hướng dẫn làm bài: a) \(1,2{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 0,2{\rm{x}} = 0\) (1) \( \Leftrightarrow x\left( {1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2} \right) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = 0 \hfill \cr1,2{{\rm{x}}^2} - x - 0,2 = 0(*) \hfill \cr} \right.\) Giải (*): \(1,2x^2 – x – 0,2 = 0\) Ta có: \(a + b + c = 1,2 + (-1) + (-0,2) = 0\) Vậy (*) có 2 nghiệm: \({x_1}= 1\); \({x_2} = {{ - 0,2} \over {1,2}} = - {1 \over 6}\) Vậy phương trình đã cho có 3 nghiệm: \({x_1} = 0;{x_2} = 1;{x_3} = - {1 \over 6}\) b) \(5{{\rm{x}}^3} - {x^2} - 5{\rm{x}} + 1 = 0\) \(⇔ x^2(5x – 1) – (5x – 1) = 0\) \(⇔ (5x – 1)(x^2– 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{5{\rm{x}} - 1 = 0 \hfill \cr {x^2} - 1 = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 5} \hfill \cr x = \pm 1 \hfill \cr} \right.\) Vậy phương trình (2) có 3 nghiệm: \({x_1} = {1 \over 5};{x_2} = - 1;{x_3} = 1\) Bài 59 trang 63 SGK Toán 9 tập 2. Giải các phương trình bằng cách đặt ẩn phụ: a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\) b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\) Hướng dẫn làm bài: a) \(2{\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right)^2} + 3\left( {{x^2} - 2{\rm{x}}} \right) + 1 = 0\) Đặt \(x^2 – 2x = t\). Khi đó (1) \(⇔ 2t^2+ 3t +1 = 0 \)(*) Phương trình (*) có \(a – b + c = 2 – 3 + 1 = 0\) Vậy phương trình (*) có hai nghiệm: - Với \(t = -1\). Ta có \(\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - 1 \Leftrightarrow {x^2} - 2{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Rightarrow {x_1} = {x_2} = 1 \cr}\) - Với \(t = - {1 \over 2}\). Ta có: \(\eqalign{ & {x^2} - 2{\rm{x}} = - {1 \over 2} \Leftrightarrow 2{{\rm{x}}^2} - 4{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta ' = {\left( { - 2} \right)^2} - 2.1 = 4 - 2 = 2 \cr & \sqrt {\Delta '} = \sqrt 2 \cr & \Rightarrow {x_3} = {{ - \left( { - 2} \right) + \sqrt 2 } \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2} \cr & {x_4} = {{ - \left( { - 2} \right) - \sqrt 2 } \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2} \cr} \) Vậy phương trình có 4 nghiệm: \({x_1} = {x_2} = 1;{x_3} = {{2 + \sqrt 2 } \over 2};{x_4} = {{2 - \sqrt 2 } \over 2}\) b) \({\left( {x + {1 \over x}} \right)^2} - 4\left( {x + {1 \over x}} \right) + 3 = 0\) Đặt \(x + {1 \over x} = t\) ta có phương trình: \(t^2 – 4t + 3t = 0\) Phương trình có \(a + b + c = 1 – 4 + 3 =0\) nên có 2 nghiệm \({t_1} =1, {t_2}=3\) Với \({t_1} =1\), ta có: \(\eqalign{ & x + {1 \over x} = 1 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - x + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 1} \right)^2} - 4 = - 3 < 0 \cr} \) Phương trình vô nghiệm Với \({t_2}= 3\), ta có \(\eqalign{ & x + {1 \over x} = 3 \cr & \Leftrightarrow {x^2} - 3{\rm{x}} + 1 = 0 \cr & \Delta = {\left( { - 3} \right)^2} - 4 = 5 \cr & \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}(TM) \cr} \) Vậy phương trình có 2 nghiệm: \( \Rightarrow {x_1} = {{3 + \sqrt 5 } \over 2};{x_2} = {{3 - \sqrt 5 } \over 2}\) Bài 60 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Với mỗi phương trình sau, đã biết một nghiệm (ghi kèm theo), hãy tìm nghiệm kia: a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\) b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\) c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \) d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\) Hướng dẫn làm bài: a) \(12{{\rm{x}}^2} - 8{\rm{x}} + 1 = 0;{x_1} = {1 \over 2}\) Ta có: \({x_1}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {1 \over 2}{x_2} = {1 \over {12}} \Leftrightarrow {x_2} = {1 \over 6}\) b) \(2{{\rm{x}}^2} - 7{\rm{x}} - 39 = 0;{x_1} = - 3\) Ta có: \({x_1}.{x_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow - 3{{\rm{x}}_2} = {{ - 39} \over 2} \Leftrightarrow {x_2} = {{13} \over 2}\) c) \({x^2} + x - 2 + \sqrt 2 = 0;{x_1} = - \sqrt 2 \) Ta có: \(\eqalign{ & {x_1}.{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow - \sqrt 2 .{x_2} = \sqrt 2 - 2 \cr & \Leftrightarrow {x_2} = {{\sqrt 2 - 2} \over { - \sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 \left( {1 - \sqrt 2 } \right)} \over { - \sqrt 2 }} = \sqrt 2 - 1 \cr} \) d) \({x^2} - 2m{\rm{x}} + m - 1 = 0;{x_1} = 2\) Vì \({x_1} = 2\) là một nghiệm của pt (1) nên \(2^2- 2m.2 + m - 1 = 0\) \(⇔ m = 1\) Khi \(m = 1\) ta có: \({x_1}{x_2} = m - 1\) (hệ thức Vi-ét) \(⇔ 2.{x_2}= 0\) (vì \({x_1} = 2\) và \(m = 1\)) \(⇔ {x_2}= 0\) Bài 61 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Tìm hai số u và v trong mỗi trường hợp sau: a) \(u + v = 12\); \(uv = 28\) và \(u > v\) b) \(u + v = 3; uv = 6\) Hướng dẫn làm bài: a) \(u + v = 12; uv = 28\) và \(u > v\) \(u\) và \(v\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 – 12x + 28 = 0\) \(\Delta'= 36 – 28 = 8\) \( \Rightarrow {x_1} = 6 + 2\sqrt 2 ;{x_2} = 6 - 2\sqrt 2 \) Vì \(6 + 2\sqrt 2 > 6 - 2\sqrt 2\) nên suy ra \(u = 6 + 2\sqrt 2 ;v = 6 - 2\sqrt 2\) b) \(u + v = 3; uv = 6\) \(u\) và \(v\) là hai nghiệm của phương trình: \(x^2 – 3x + 6 = 0\) \(\Delta = (-3)^2 – 4.1.6 = 9 – 24 = -15 < 0\) Phương trình vô nghiêmh suy ra không có 2 số \(u\) và \(v\) thỏa mãn điều kiện đã cho. Bài 62 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Cho phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2= 0\) a) Với giá trị nào của \(m\) thì phương trình có nghiệm? b) Trong trường hợp phương trình có nghiệm, dùng hệ thức Vi-ét, hãy tính tổng các bình phương hai nghiệm của phương trình theo \(m\). Giải Xét phương trình \(7x^2 + 2(m – 1)x – m^2 = 0\) (1) a) Phương trình có nghiệm khi \(\Delta’ ≥ 0\) Ta có: \(\Delta’ = (m – 1)^2 – 7(-m^2) = (m – 1)^2 + 7m^2 ≥ 0\) với mọi \(m\) Vậy phương trình (1) luôn luôn có nghiệm với mọi giá trị của \(m\) b) Gọi \({x_1},{x_2}\) là hai nghiệm của phương trình (1) Ta có: \(\eqalign{ & x_1^2 + x_2^2 = {\left( {{x_1} + {x_2}} \right)^2} - 2{{\rm{x}}_1}{x_2} \cr & = \left[ {{{ - 2{{\left( {m - 1} \right)}^2}} \over 7}} \right] - 2{{{{ { - m} }^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4} \over {49}} + {{2{m^2}} \over 7} \cr & = {{4{m^2} - 8m + 4 + 14{m^2}} \over {49}} \cr & = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}} \cr} \) Vậy \(x_1^2 + x_2^2 = {{18{m^2} - 8m + 4} \over {49}}\) . Bài 63 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Sau hai năm, số dân của một thành phố tăng từ 2 000 000 người lên 2 020 050 người. Hỏi trung bình mỗi năm dân số của thành phố đó tăng bao nhiêu phần trăm? Giải Gọi tỉ số tăng dân số trung bình mỗi năm là \(x\) % \((x > 0)\). Sau một năm dân số của thành phố là: \(2 000 000 + 2 000 000 . {x \over {100}}= 2 000 000 + 20 000x\) (người) Sau hai năm, dân số của thành phố là: \(2000000 +20 000x + (2000 000 + 20 000x). {x \over {100}}\) \(= 2000 000 + 40 000x + 200x^2\) (người) Ta có phương trình: \(2 000 000 + 40 000x + 200x^2= 2 020 050\) \(⇔ 4x^2 + 800x – 401 = 0\) \(\Delta' = 400^2 – 4(-401) = 160 000 + 1 604\) \(= 161 604 > 0\) \(\sqrt\Delta'= \sqrt{161 604} = 402\) Vậy phương trình có 2 nghiệm: \({x_1} = {{ - 400 + 402} \over 4} = 0,5(TM)\) \({x_2} = {{ - 400 - 402} \over 4} = - 200,5 < 0\) (loại) Tỉ lệ tăng dẫn số trung bình hàng năm của thành phố là \(0,5\) % Bài 64 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Bài toán yêu cầu tìm tích của một số dương với một số lớn hơn nó 2 đơn vị, nhưng bạn Quân nhầm đầu bài lại tính tích của một số dương với một số bé hơn nó 2 đơn vị. Kết quả của bạn Quân là 120. Hỏi nếu làm đúng đầu bài đã cho thì kết quả phải là bao nhiêu? Giải: Gọi \(x\) là số dương mà đấu bài cho, \(x ∈ N*\) Bạn Quân đã chọn số \((x – 2)\) để nhân với \(x\). Theo đề bài, ta có: \(x(x – 2) = 120\) hay \(x^2 – 2x – 120 = 0\) Giải phương trình ta được \(x = 12\) (thỏa mãn) và \(x=-10\) (loại) Theo đầu bài yêu cầu tìm tích của \(x\) với \(x +2\) Vậy kết quả đúng phải là: \(12.14 = 168\) Bài 65 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Một xe lửa đi từ Hà Nội vào Bình Sơn (Quảng Ngãi). Sau đó 1 giờ, một xe lửa khác đi từ Bình Sơn ra Hà Nội với vận tốc lớn hơn vận tốc của xe lửa thứ nhất là 5km/h. Hai xe gặp nhau tại một ga ở chính giữa quãng đường Hà Nội – Bình Sơn dài 900km. Giải: Gọi \(x\) (km/h) là vận tốc của xe thứ nhất. Điều kiện \(x > 0\). Khi đó vận tốc của xe lửa thứ hai là \(x + 5\) (km/h). Thời gian xe lửa thứ nhất đi từ Hà Nội đến chỗ gặp nhau là: \({{450} \over x}\) (giờ) Thời gian xe lửa thứ hai đi từ Bình Sơn đến chỗ gặp nhau là: \({{450} \over {x + 5}}\) (giờ) Vì xe lửa thứ hai đi sau \(1\) giờ, nghĩa là thời gian đi đến chỗ gặp nhau ít hơn xe thứ nhất \(1\) giờ. Ta có phương trình: \({{450} \over x} - {{450} \over {x + 5}} = 1 \Leftrightarrow {x^2} + 5{\rm{x}} - 2250 = 0\) Giải phương trình ta được: \({x_1} = 45\) (nhận); \({x_2} = -50\) (loại) Vậy: Vận tốc của xe lửa thứ nhất là \(45\) km/h Vận tốc của xe lửa thứ hai là \(50\) km/h. Bài 66 trang 64 SGK Toán 9 tập 2. Cho tam giác ABC có BC = 16cm , đường cao AH = 12 cm. Một hình chữ nhật MNPQ có đỉnh M thuộc cạnh AB, đỉnh N thuộc cạnh AC còn hai đỉnh P và Q thuộc cạnh BC (h.17). Xác định vị trí của điểm M trên cạnh AB sao cho diện tích của hình chữ nhật đó bằng 36cm2. Giải: Gọi \(x\) (cm) là độ dài của đoạn \(AK\). Điều kiện \(0 < x < 12\) Vì \(∆ABC\) đồng dạng \(∆AMN\) nên \(\eqalign{ & {{MN} \over {BC}} = {{AM} \over {AB}} = {{AK} \over {AH}} = {x \over {12}} \cr & \Rightarrow MN = {{16x} \over {12}} = {{4{\rm{x}}} \over 3} \cr} \) Ta có: \(MQ = KH = 12 – x\) Do đó diện tich hình chữ nhật \(MNPQ\) là: \(\left( {12 - x} \right){{4{\rm{x}}} \over 3}\) Ta có phương trình: \(\left( {12 - x} \right){{4{\rm{x}}} \over 3} = 36 \Leftrightarrow {x^2} - 12{\rm{x}} + 27 = 0\) Giải phương trình ta được: \({x_1} = 9\) (nhận) hoặc \({x_2} = 3\) (nhận) Vậy độ dài của đoạn \(AK = 3cm\) hoặc \(9cm\). Khi đó \(M\) sẽ có hai vị trí trên \(AB\) nhưng diện tích hình chữ nhật \(MNPQ\) luôn bằng \(36\) $cm^2$
