Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa Cho hàm số \(y=f(x)\) xác định trên (a;b) và có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\) Giả sử \(\Delta x\) là số gia của x sao cho \(x + \Delta x \in (a;b).\) Vi phân của hàm số \(y=f(x)\) tại x là \(dy = df(x) = f'(x)dx.\) 2. Ứng dụng vào phép tính gần đúng \(f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\) 3. Các dạng toán a) Dạng 1: Tìm vi phân của hàm số y=f(x) Phương pháp: Tính đạo hàm f'(x). Vi phân của hàm số y=f(x) tại x là \(df(x) = f'(x)dx.\) Vi phân của hàm số y=f(x) tại \(x_0\) là \(df(x_0) = f'(x_0)dx.\) b) Dạng 2: Tìm giá trị gần đúng của một biểu thức Phương pháp: Lập hàm số \(y=f(x)\) và chọn \(x_0, \Delta x\) một cách thích hợp. Tính đạo hàm \(f'(x), f'(x_0)\) và \(f(x_0).\) Giá trị gần đúng của biểu thức \(P = f({x_0} + \Delta x) \approx f({x_0}) + f'({x_0})\Delta x.\) Bài tập minh họa Ví dụ 1: Tìm vi phân của các hàm số sau: a) \(f(x) = \sin x - x\cos x\). b) \(f(x) = \frac{1}{{{x^3}}}\). c) \(f(x) = x{\mathop{\rm cosx}\nolimits}\) tại \(x=\frac{\pi}{2}.\) Hướng dẫn giải: a) \(f'(x) = cosx - (cosx - xsinx) = xsinx\) nên \(df(x) = x\sin xdx.\) b) \(f'(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}\) nên \(df(x) = - \frac{3}{{{x^4}}}dx.\) c) \(f'(x) = cosx - x\sin x \Rightarrow f'\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}\) nên \(df\left( {\frac{\pi }{2}} \right) = - \frac{\pi }{2}dx.\) Ví dụ 2: Tính gần đúng các giá trị sau: a) \(\sqrt {4,01}\). b) \(\sin {29^0}\). Hướng dẫn giải: a) Đặt \(f(x) = \sqrt x .\) Chọn \(x_0=4\) và \(\Delta x=0,01\) thì \(4,01=4+0,01=x_0+\Delta x.\) \(f'(x)=\frac{1}{2 \sqrt x}\Rightarrow f'(4)=\frac{1}{2 \sqrt 4}=\frac{1}{4}.\) \(f(4)=2.\) Vậy: \(\sqrt {4,01} = f(4 + 0,01) \approx f(4) + f'(4).0,01 = 2,0025.\) b) Đặt \(f(x)=sin x,\) chọn \(x_0=30^0\) và \(\Delta x=-1^0=-\frac{-\pi}{180}.\) Ta có: \(29^0=30^0-1^0=x_0+\Delta x.\) \(f'(x)=cos x,f'(30^0)=cos (30^0)=\frac{\sqrt 3}{2};f(30^0)=sin 30^0=\frac{1}{2}.\) Vậy: \(sin 29^0 = f(30^0-1^0) \approx f(30^0)+f'(30^0).\left (- \frac{\pi}{180} \right )\approx 0,4849.\)
