Tóm tắt lý thuyết 1. Định nghĩa đạo hàm cấp hai a) Đạo hàm cấp hai Hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm tại \(x \in (a;b).\) Khi đó \(y'=f'(x)\) xác định một hàm sô trên (a;b). Nếu hàm số \(y'=f'(x)\) có đạo hàm tại x thì ta gọi đạo hàm của y' là đạo hàm cấp hai của hàm số \(y=f(x)\) tại x. Kí hiệu: \(y''\) hoặc \(f''(x).\) b) Đạo hàm cấp n Cho hàm số \(y=f(x)\) có đạo hàm cấp \(n-1,\) kí hiệu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)(n \in \mathbb{N}, n\geq 4)\) và nếu \(f^{\left ( n-1 \right )}(x)\) có đạo hàm thì đạo hàm của nó được gọi là đạo hàm câp n của \(y=f(x),\) kí hiệu \(y^{(n)}\) hoặc \(f^{(n)}(x).\) \({f^{(n)}}(x) = {\rm{[}}{f^{(n - 1)}}(x){\rm{]}}'\) 2. Ý nghĩa cơ học Đạo hàm cấp hai \(f''(t)\) là gia tốc tức thời của chuyển động \(S=f(t)\) tại thời điểm t. Bài tập minh họa Ví dụ: Tính đạo hàm cấp hai của các hàm số sau: a) \(f(x) = {(2x - 3)^5}.\) b) \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}}\). c) \(f(x) = x\sqrt {1 + {x^2}} .\) Hướng dẫn giải: a) Ta có: \(f'(x) =\left [ \left ( 2x-3 \right )^5 \right ]'= 5.(2x - 3)'{(2x - 3)^4} = 10{(2x - 3)^4}.\) \(f''(x) = \left[ {10{{\left( {2x - 3} \right)}^4}} \right]' = 10.4.(2x - 3)'(2x - 3) = 80{(2x - 3)^3}.\) b) Ta có: \(f(x) = \frac{{{x^2} + x + 1}}{{x + 1}} = x + \frac{1}{x}\) \(f'(x) = \left( {x + \frac{1}{x}} \right)' = 1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}.\) \(f''(x) = \left[ {1 - \frac{1}{{{{(x + 1)}^2}}}} \right]' = \frac{2}{{{{(x + 1)}^3}}}.\) c) Ta có: \(f'(x) = \left( {x\sqrt {1 + {x^2}} } \right)' = \sqrt {1 + {x^2}} + \frac{{{x^2}}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }} = \frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}.\) \(\begin{array}{l} f''(x) = \left[ {\frac{{2{x^2} + 1}}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}} \right]' = \frac{{(2{x^2} + 1)'\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)'}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}}\\ = \frac{{4x\sqrt {1 + {x^2}} - \left( {2{x^2} + 1} \right)\frac{x}{{\sqrt {1 + {x^2}} }}}}{{{{\left( {\sqrt {1 + {x^2}} } \right)}^2}}} = \frac{{4x({x^2} + 1) - x(2{x^2} + 1)}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}\\ = \frac{{2{x^3} + 3x}}{{(1 + {x^2})\sqrt {1 + {x^2}} }}. \end{array}\)
