Tóm tắt lý thuyết 1. Nhị thức Newton Định lí: \({(a + b)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}} \) \( = C_n^0{a^n} + C_n^1{a^{n - 1}}b + C_n^2{a^{n - 2}}{b^2} + ... + C_n^{n - 1}a{b^{n - 1}} + C_n^n{b^n}\) 2. Nhận xét Trong khai triển Newton \({(a + b)^n}\) có các tính chất sau Gồm có \(n + 1\) số hạng Số mũ của a giảm từ n đến 0 và số mũ của b tăng từ 0 đến n Tổng các số mũ của a và b trong mỗi số hạng bằng n Các hệ số có tính đối xứng: \(C_n^k = C_n^{n - k}\) Số hạng tổng quát : \({T_{k + 1}} = C_n^k{a^{n - k}}{b^k}\) VD: Số hạng thứ nhất \({T_1} = {T_{0 + 1}} = C_n^0{a^n}\), số hạng thứ k: \({T_{(k - 1) + 1}} = C_n^{k - 1}{a^{n - k + 1}}{b^{k - 1}}\) 3. Hệ quả Ta có : \({(1 + x)^n} = C_n^0 + xC_n^1 + {x^2}C_n^2 + ... + {x^n}C_n^n\) Từ khai triển này ta có các kết quả sau: \(C_n^0 + C_n^1 + ... + C_n^n = {2^n}\) \(C_n^0 - C_n^1 + C_n^2 - ... + {( - 1)^n}C_n^n = 0\) 4. Bài toán Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển: \({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n}\) với \(x > 0\) (\(p,q\) là các hằng số khác nhau). Phương pháp giải: Ta có: \({\left( {a{x^p} + b{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{{\left( {a{x^p}} \right)}^{n - k}}{{\left( {b{x^q}} \right)}^k}} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{b^k}{x^{np - pk + qk}}} \) Số hạng chứa \({x^m}\) ứng với giá trị \(k\) thỏa: \(np - pk + qk = m\). Từ đó tìm \(k = \frac{{m - np}}{{p - q}}\) Vậy hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) là: \(C_n^k{a^{n - k}}.{b^k}\) với giá trị \(k\) đã tìm được ở trên. Nếu \(k\) không nguyên hoặc \(k > n\) thì trong khai triển không chứa \({x^m}\), hệ số phải tìm bằng 0. Chú ý: Xác định hệ số của số hạng chứa \({x^m}\) trong khai triển \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n}\) được viết dưới dạng \({a_0} + {a_1}x + ... + {a_{2n}}{x^{2n}}\). Ta làm như sau: Viết \(P\left( x \right) = {\left( {a + b{x^p} + c{x^q}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{a^{n - k}}{{\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)}^k}} \); Viết số hạng tổng quát khi khai triển các số hạng dạng \({\left( {b{x^p} + c{x^q}} \right)^k}\) thành một đa thức theo luỹ thừa của x. Từ số hạng tổng quát của hai khai triển trên ta tính được hệ số của \({x^m}\). Chú ý: Để xác định hệ số lớn nhất trong khai triển nhị thức Niutơn Ta làm như sau: Tính hệ số \({a_k}\) theo \(k\) và \(n\); Giải bất phương trình \({a_{k - 1}} \le {a_k}\) với ẩn số \(k\); Hệ số lớn nhất phải tìm ứng với số tự nhiên k lớn nhất thoả mãn bất phương trình trên. Bài tập minh họa Ví dụ 1: Tìm hệ số x16 trong khai triền ( x2-2x )10. Hướng dẫn giải: Ta có: \({\left( {{x^2} - 2x} \right)^{10}} = \,{\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^2})} ^{10 - k}}{\left. { - 2x} \right)^k}\) \(= \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - 2k}}{x^k}} {\left. { - 2} \right)^k} = \,\sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{x^{20 - k}}} {\left. { - 2} \right)^k}\) Ta chọn: 20 - k= 16 \(\Leftrightarrow \,k = 4\) => Hệ số x16 trong khai triển là \(C_{10}^4 = 3360\) Ví dụ 2: Biết hệ số của x2 trong khai triển của (1-3x)n là 90. Tìm n. Hướng dẫn giải: Với số thực \(x \ne 0\) và với mọi số tự nhiên \(n \ge 1\), ta có: \({(1 - 3x)^n} = \,{[1 - (3x)]^n} = \,\sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k} {(1)^{n - k}}{( - 3)^k}{x^k}\) Suy ra hệ số của x2 trong khai triển này là \({3^2}C_n^2\). Theo giả thiết, ta có: \({3^2}C_n^2\) = 90 => \(C_n^2\, = 10\) Từ đó ta có: \(\frac{{n!}}{{2!(n - 2)!}} = 10\, \Leftrightarrow \,n(n - 1)\, = \,20\) \(\Leftrightarrow \,{n^2}\, - \,n = \,20\, \Leftrightarrow \,n = \, - 4\) ( loại) hoặc n= 5 Đáp số: n= 5 Ví dụ 3: Tìm số hạng không chứa x trong các khai triển \(f(x) = {\left( {x - \frac{2}{x}} \right)^{12}}{\rm{ (}}x \ne 0).\) Hướng dẫn giải: Ta có: \(f(x) = {(x - 2.{x^{ - 1}})^{12}} = \sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{x^{12 - k}}.{{( - 2{x^{ - 1}})}^k}} \) \(\sum\limits_{k = 0}^{12} {C_{12}^k{{( - 2)}^k}{x^{12 - 2k}}} \) Số hạng không chứa \(x\) ứng với giá trị \(k\) thỏa mãn: \(12 - 2k = 0\) \( \Leftrightarrow k = 6 \Rightarrow \) số hạng không chứa \(x\) là: \(C_{12}^6{.2^6} = 59136\). Ví dụ 4: Xác định hệ số của \({x^4}\) trong khai triển sau: \(f(x) = {(3{x^2} + 2x + 1)^{10}}\). Hướng dẫn giải: \(f\left( x \right) = {\left( {1 + 2x + 3{x^2}} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} {\left( {2x + 3{x^2}} \right)^k}\) \( = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {(2x)^{k - i}}.{(3{x^2})^i} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k} \sum\limits_{i = 0}^k {C_k^i} {2^{k - i}}{.3^i}{x^{k + i}}\) với\(0 \le i \le k \le 10\). Do đó \(k + i = 4\) với các trường hợp \(i = 0,k = 4\) hoặc \(i = 1,k = 3\) hoặc \(i = k = 2\). Vậy hệ số chứa \({x^4}\): \({2^4}C_{10}^4.C_4^0 + {2^2}{3^1}C_{10}^3.C_3^1 + {3^2}C_{10}^2.C_2^2 = 8085\).
