Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương 1 - Bài 3. Một số phương trình lượng giác thường gặp

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11. Giải phương trình

    \({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\).

    Đáp án :

    \({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0 \Leftrightarrow sinx(sinx - 1) = 0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = 0}} \hfill \cr
    {\rm{sin x = 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = k\pi \hfill \cr
    x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\)



    Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau:

    a)\(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

    b) \(2sin2x{\rm{ }} + \sqrt 2 sin4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

    Giải

    a) Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình:

    \(2{t^2} - {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t \in \left\{ {1;{1 \over 2}} \right\}\)

    Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau:

    \(cosx = 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(cosx = {1 \over 2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \).

    Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\).

    b) Ta có \(sin4x = 2sin2xcos2x\) (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với

    \(\left[ \matrix{
    \sin 2x = 0 \hfill \cr
    \cos 2x = - {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    2x = k\pi \hfill \cr
    2x = \pm {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {{k\pi } \over 2} \hfill \cr
    x = \pm {{3\pi } \over 8} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)




    Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau:

    a) \(si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

    b) \(8co{s^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinx{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

    c) \(2ta{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3tanx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

    d) \(tanx{\rm{ }} - {\rm{ }}2cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\).

    Giải

    a) Đặt \(t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\) thì phương trình trở thành

    \((1{\rm{ }} - {\rm{ }}{t^2}){\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = 1 \hfill \cr
    t = - 3 \hfill \text{(loại)}\cr} \right.\)

    Phương trình đã cho tương đương với

    \(cos{x \over 2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {x \over 2} = {\rm{ }}k2\pi \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}4k\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \).

    b) Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]\) thì phương trình trở thành

    \(8(1{\rm{ }} - {t^2}){\rm{ }} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}8{t^{2}} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = {1 \over 2} \hfill \cr
    t = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right.\)

    Phương trình đã cho tương đương :

    \(sinx = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
    x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)



    \(sinx = - {1 \over 4} \Leftrightarrow \sin x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right)\)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr
    x = \pi - arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

    c) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành

    \(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = - 1 \hfill \cr
    t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

    Phương trình đã cho tương đương:

    \(\left[ \matrix{
    \tan x = - 1 \hfill \cr
    \tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
    x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)



    d) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành

    \(t - {2 \over t} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}t{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = 1 \hfill \cr
    t = - 2 \hfill \cr} \right.\)

    Phương trình đã cho tương đương:

    \(\left[ \matrix{
    {\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1 \hfill \cr
    tanx = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
    x = \arctan ( - 2) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)




    Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau:

    a) \(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\);

    b) \(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\);

    c) \(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ;

    d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\).

    Giải

    a) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(2tan^2x + tanx - 3 = 0\).

    Đặt \(t = tanx\) thì phương trình này trở thành

    \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = 1 \hfill \cr
    t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

    Phương trình đã cho tương đương:

    \(\left[ \matrix{
    \tan x = 1 \hfill \cr
    \tan x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
    x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

    b)\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\)

    \(\Leftrightarrow 3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2si{n^2}x{\rm{ }}\)

    \(+ {\rm{ }}2co{s^2}x\)

    \(\Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\)

    Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương

    \(\Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0\)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    \tan x = 1 \hfill \cr
    \tan x = 3 \hfill \cr} \right.\)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
    x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

    c) \(si{n^2}x{\rm{ }}+{\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\)

    \(\Leftrightarrow si{n^2}x{\rm{ }} + 2sinxcosx- {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} =\)

    \({1 \over 2}(sin^2x+cos^2x)\)

    \({1 \over 2}si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinxcosx{\rm{ }} -{5\over 2}co{s^2}x = 0\)

    \( \Leftrightarrow si{n^2}x +4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0\)

    Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương

    \(\tan x + 4\tan x - 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    \tan x = 1 \hfill \cr
    \tan x = -5 \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr
    x = \arctan (-5)+ k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

    d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\)

    \(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4{\sin ^2}x = 0\)

    \(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4(1 - {\cos ^2}x) = 0\)

    \(\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\)

    \(\Leftrightarrow 6\cos x(\cos x - \sqrt 3 \sin x) = 0\)

    \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{
    \cos x = 0(1) \hfill \cr
    \cos x - \sqrt 3 \sin x = 0(2) \hfill \cr} \right.\)

    Giải (1) ta được \(x={\pi\over 2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\))

    Giải (2): Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho \(cosx\) ta được phương trình tương đương:

    \(tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\)




    Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau:

    a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\);

    b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\);

    c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\);

    d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\).

    Giải

    a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\)

    \( \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {{\sqrt 2 } \over 2}\)

    \( \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi \over 3} - \sin x\sin {\pi \over 3} = \cos {\pi \over 4}\)

    \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos {\pi \over 4}\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr
    x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr
    x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\)

    b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\)

    \( \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1\)



    Đặt \(\alpha =arccos{3\over5}\) thì phương trình trở thành

    \(cosαsin3x - sinαcos3x = 1\)\( ⇔ sin(3x - α) = 1\)

    \( ⇔ 3x - α = {\pi\over2} + k2π\)

    \( \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {\alpha \over 3} + {{k2\pi } \over 3}(k \in \mathbb{Z})\)

    c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\)

    \(\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2}\)

    \( \Leftrightarrow \sin 2x.\cos {\pi \over 4} + \cos 2x.\sin {\pi \over 4} = \sin {\pi \over 6}\)

    \( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 6}\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr
    2x + {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr
    x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)

    d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\)

    \( \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1\)

    Đặt \(\alpha = arccos{5\over13}\) thì phương trình trở thành

    \(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x - α) = 1\)

    \(⇔ 2x-\alpha = k2π\) \(\Leftrightarrow x={\alpha\over2}+k\pi\), \((k ∈ \mathbb{Z})\)

    (trong đó \(α = arccos{5\over13})\).




    Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau:

    a. \(tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1\);

    b. \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1\)

    Lời giải:

    a) \(tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1\)

    \(\tan (2x + 1) = {1 \over {\tan (3x - 1)}}\)

    \(\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \cot (3x - 1)\)

    \( \Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \tan \left( {{\pi \over 2} - 3x + 1} \right)\)

    \( \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi \over 2} - 3x + 1 + k\pi \)

    \( \Leftrightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}(k \in\mathbb{Z} )\).

    b) \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1\)

    \(\eqalign{
    & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + \tan {\pi \over 4}} \over {1 - \tan x.\tan {\pi \over 4}}} = 1 \cr
    & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr} \)

    Đặt \(t = tan x\), (điều kiện \(t ≠ 1\))phương trình trở thành

    \(t + \frac{t+1}{1-t}\)= 1

    \(\Leftrightarrow - {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    t = 0 \hfill \cr
    t = 3 \hfill \cr} \right.\text{(thỏa mãn)}\)

    \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    \tan x = 0 \hfill \cr
    \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{
    x = k\pi \hfill \cr
    x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)