Bài 1 trang 36 sgk giải tích 11. Giải phương trình \({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0\). Đáp án : \({\sin ^2}x - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} = 0 \Leftrightarrow sinx(sinx - 1) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {\mathop{\rm s}\nolimits} {\rm{in x = 0}} \hfill \cr {\rm{sin x = 1}} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = {\pi \over 2} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\) Bài 2 trang 36 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a)\(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3cosx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(2sin2x{\rm{ }} + \sqrt 2 sin4x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải a) Đặt \( t = cosx, t \in [-1 ; 1]\) ta được phương trình: \(2{t^2} - {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {\rm{ }}t \in \left\{ {1;{1 \over 2}} \right\}\) Nghiệm của phương trình đã cho là các nghiệm của hai phương trình sau: \(cosx = 1 \Leftrightarrow {\rm{ }}x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(cosx = {1 \over 2} \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \). Vậy \(x = {\rm{ }}k2\pi \) và \(x{\rm{ }} = \pm {\pi \over 3} + {\rm{ }}k2\pi \) \((k\in\mathbb{Z})\). b) Ta có \(sin4x = 2sin2xcos2x\) (công thức nhân đôi), do đó phương trình đã cho tương đương với \(\left[ \matrix{ \sin 2x = 0 \hfill \cr \cos 2x = - {1 \over {\sqrt 2 }} \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = k\pi \hfill \cr 2x = \pm {{3\pi } \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {{k\pi } \over 2} \hfill \cr x = \pm {{3\pi } \over 8} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) Bài 3 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \(si{n^2}{x \over 2} - {\rm{ }}2cos{x \over 2} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(8co{s^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinx{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); c) \(2ta{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}3tanx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); d) \(tanx{\rm{ }} - {\rm{ }}2cotx{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\). Giải a) Đặt \(t = {\rm{ }}cos{x \over 2},{\rm{ }}t \in \left[ { - 1{\rm{ }};{\rm{ }}1} \right]\) thì phương trình trở thành \((1{\rm{ }} - {\rm{ }}{t^2}){\rm{ }} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} + {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - 3{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 3 \hfill \text{(loại)}\cr} \right.\) Phương trình đã cho tương đương với \(cos{x \over 2} = {\rm{ }}1 \Leftrightarrow {x \over 2} = {\rm{ }}k2\pi \Leftrightarrow {\rm{ }}x{\rm{ }} = {\rm{ }}4k\pi ,{\rm{ }}k \in\mathbb{Z} \). b) Đặt \(t = sinx, t ∈ [-1 ; 1]\) thì phương trình trở thành \(8(1{\rm{ }} - {t^2}){\rm{ }} + {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}7{\rm{ }} = {\rm{ }}0{\rm{ }} \Leftrightarrow {\rm{ }}8{t^{2}} - {\rm{ }}2t{\rm{ }} - {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = {1 \over 2} \hfill \cr t = - {1 \over 4} \hfill \cr} \right.\) Phương trình đã cho tương đương : \(sinx = {1 \over 2} \Leftrightarrow \sin x = {\pi \over 6} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) và \(sinx = - {1 \over 4} \Leftrightarrow \sin x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right)\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr x = \pi - arc\sin \left( { - {1 \over 4}} \right) + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) c) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành \(2{t^{2}} + {\rm{ }}3t{\rm{ }} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 1 \hfill \cr t = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Phương trình đã cho tương đương: \(\left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr \tan x = - {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan \left( { - {1 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) d) Đặt \(t = tanx\) thì phương trình trở thành \(t - {2 \over t} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow {t^{2}} + {\rm{ }}t{\rm{ }} - {\rm{ }}2{\rm{ }} = {\rm{ }}0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - 2 \hfill \cr} \right.\) Phương trình đã cho tương đương: \(\left[ \matrix{ {\mathop{\rm tanx}\nolimits} = 1 \hfill \cr tanx = - 2 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan ( - 2) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) Bài 4 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \(2si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sinxcosx{\rm{ }} - {\rm{ }}3co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}0\); b) \(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\); c) \(si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) ; d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\). Giải a) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(2tan^2x + tanx - 3 = 0\). Đặt \(t = tanx\) thì phương trình này trở thành \(2{t^2} + t - 3 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Phương trình đã cho tương đương: \(\left[ \matrix{ \tan x = 1 \hfill \cr \tan x = - {3 \over 2} \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan \left( { - {3 \over 2}} \right) + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) b)\(3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2\) \(\Leftrightarrow 3si{n^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}4sinxcosx{\rm{ }} + {\rm{ }}5co{s^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }}2si{n^2}x{\rm{ }}\) \(+ {\rm{ }}2co{s^2}x\) \(\Leftrightarrow sin^2x - 4sinxcosx + 3cos^2x = 0\) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(\Leftrightarrow tan^2x - 4tanx + 3 = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 1 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) c) \(si{n^2}x{\rm{ }}+{\rm{ }}sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} = {1 \over 2}\) \(\Leftrightarrow si{n^2}x{\rm{ }} + 2sinxcosx- {\rm{ }}2co{s^2}x{\rm{ }} =\) \({1 \over 2}(sin^2x+cos^2x)\) \({1 \over 2}si{n^2}x{\rm{ }} + {\rm{ }}2sinxcosx{\rm{ }} -{5\over 2}co{s^2}x = 0\) \( \Leftrightarrow si{n^2}x +4\sin x\cos x - 5{\cos ^2}x = 0\) Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình đã cho nên chia phương trình cho \(cos^2x\) ta được phương trình tương đương \(\tan x + 4\tan x - 5= 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 1 \hfill \cr \tan x = -5 \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr x = \arctan (-5)+ k\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) d) \(2co{s^2}x{\rm{ }} - {\rm{ }}3\sqrt 3 sin2x{\rm{ }} - {\rm{ }}4si{n^2}x{\rm{ }} = {\rm{ }} - 4\) \(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4{\sin ^2}x = 0\) \(\Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\sqrt 3 \sin 2x + 4 - 4(1 - {\cos ^2}x) = 0\) \(\Leftrightarrow 6{\cos ^2}x - 6\sqrt 3 \sin x\cos x = 0\) \(\Leftrightarrow 6\cos x(\cos x - \sqrt 3 \sin x) = 0\) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0(1) \hfill \cr \cos x - \sqrt 3 \sin x = 0(2) \hfill \cr} \right.\) Giải (1) ta được \(x={\pi\over 2}+k\pi\) (\(k\in\mathbb{Z}\)) Giải (2): Dễ thấy \(cosx = 0\) không thỏa mãn phương trình nên chia phương trình cho \(cosx\) ta được phương trình tương đương: \(tanx={1\over\sqrt3}\Leftrightarrow x={\pi\over6}+k\pi(k\in\mathbb{Z})\) Bài 5 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\); b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\); c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\); d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\). Giải a) \(cosx - \sqrt3sinx = \sqrt2\) \( \Leftrightarrow {1 \over 2}\cos x - {{\sqrt 3 } \over 2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) \( \Leftrightarrow \cos x.\cos {\pi \over 3} - \sin x\sin {\pi \over 3} = \cos {\pi \over 4}\) \( \Leftrightarrow \cos \left( {x + {\pi \over 3}} \right) = \cos {\pi \over 4}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + {\pi \over 3} = {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr x + {\pi \over 3} = - {\pi \over 4} + k2\pi \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k2\pi \hfill \cr x = - {{7\pi } \over {12}} + k2\pi \hfill \cr} \right.(k \in\mathbb{Z} )\) b) \(3sin3x - 4cos3x = 5\) \( \Leftrightarrow {3 \over 5}\sin 3x - {4 \over 5}\cos 3x = 1\) Đặt \(\alpha =arccos{3\over5}\) thì phương trình trở thành \(cosαsin3x - sinαcos3x = 1\)\( ⇔ sin(3x - α) = 1\) \( ⇔ 3x - α = {\pi\over2} + k2π\) \( \Leftrightarrow x = {\pi \over 6} + {\alpha \over 3} + {{k2\pi } \over 3}(k \in \mathbb{Z})\) c) \(2sin2x + 2cos2x - \sqrt2 = 0\) \(\Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 2 }}\sin 2x + {1 \over {\sqrt 2 }}\cos 2x = {1 \over 2}\) \( \Leftrightarrow \sin 2x.\cos {\pi \over 4} + \cos 2x.\sin {\pi \over 4} = \sin {\pi \over 6}\) \( \Leftrightarrow \sin \left( {2x + {\pi \over 4}} \right) = \sin {\pi \over 6}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x + {\pi \over 4} = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 2x + {\pi \over 4} = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right.\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr x = {{7\pi } \over {12}} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) d) \(5cos2x + 12sin2x -13 = 0\) \( \Leftrightarrow {5 \over {13}}\cos 2x + {{12} \over {13}}\sin 2x = 1\) Đặt \(\alpha = arccos{5\over13}\) thì phương trình trở thành \(cosαcos2x + sinαsin2x = 1 ⇔ cos(2x - α) = 1\) \(⇔ 2x-\alpha = k2π\) \(\Leftrightarrow x={\alpha\over2}+k\pi\), \((k ∈ \mathbb{Z})\) (trong đó \(α = arccos{5\over13})\). Bài 6 trang 37 sgk giải tích 11. Giải các phương trình sau: a. \(tan (2x + 1)tan (3x - 1) = 1\); b. \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1\) Lời giải: a) \(tan(2x + 1)tan(3x - 1) = 1\) \(\tan (2x + 1) = {1 \over {\tan (3x - 1)}}\) \(\Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \cot (3x - 1)\) \( \Leftrightarrow \tan (2x + 1) = \tan \left( {{\pi \over 2} - 3x + 1} \right)\) \( \Leftrightarrow 2x + 1 = {\pi \over 2} - 3x + 1 + k\pi \) \( \Leftrightarrow x = {\pi \over {10}} + {{k\pi } \over 5}(k \in\mathbb{Z} )\). b) \(\tan x + \tan \left( {x + {\pi \over 4}} \right) = 1\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + \tan {\pi \over 4}} \over {1 - \tan x.\tan {\pi \over 4}}} = 1 \cr & \Leftrightarrow \tan x + {{\tan x + 1} \over {1 - \tan x}} = 1 \cr} \) Đặt \(t = tan x\), (điều kiện \(t ≠ 1\))phương trình trở thành \(t + \frac{t+1}{1-t}\)= 1 \(\Leftrightarrow - {t^2} + 3t = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 0 \hfill \cr t = 3 \hfill \cr} \right.\text{(thỏa mãn)}\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 0 \hfill \cr \tan x = 3 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = k\pi \hfill \cr x = \arctan 3 + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\)