Câu 1 trang 40 SGK Đại số và giải tích 11. a) Hàm số \(y = cos3x\) có phải là hàm số chẵn không? Tại sao? b) Hàm số \(y = \tan \left( {x + {\pi \over 5}} \right)\) có phải là hàm số lẻ không? Tại sao? Giải a) Ta có: +) Hàm số \(y = cos 3x\) có tập xác định là \(D = \mathbb{R}\) +) \(\forall x \in D \Rightarrow - x \in D\) +) \(f(-x) = cos 3(-x) = cos (-3x) = cos(3x) = f(x)\) Vậy hàm số \(y = cos 3x\) là hàm số chẵn b) Ta có: Hàm số \(y = \tan \left( {x + {\pi \over 5}} \right)\) không là hàm số lẻ vì: +) \(y = f(x)=\tan \left( {x + {\pi \over 5}} \right)\) có tập xác định là \(D = R\backslash \left\{ {{{3\pi } \over {10}} + k\pi ,k \in Z} \right\}\) \(f( - x) = \tan \left( { - x + {\pi \over 5}} \right) \ne - \tan \left( {x + {\pi \over 5}} \right) = - f(x)\) \(\forall x \in D\) Nên \(x = {{ - 3\pi } \over {10}}\) không là hàm số lẻ. Câu 2 trang 40 SGK Đại số và giải tích 11. Căn cứ vào đồ thị hàm số \(y = sin x\), tìm các giá trị của \(x\) trên đoạn \(\left[ {{{ - 3\pi } \over 2},2\pi } \right]\) để hàm số đó: a) Nhận giá trị bằng \(-1\) b) Nhận giá trị âm Trả lời: Đồ thị hàm số \(y = sin x\) trên đoạn \([-2π, 2π]\) Dựa vào đồ thị hàm số \(y = sinx\) a) Những giá trị của \(x ∈\) \(\left[ {{{ - 3\pi } \over 2},2\pi } \right]\) để hàm số \(y = sin x\) nhận giá trị bằng \(-1\) là: \(x = {{ - \pi } \over 2};x = {{3\pi } \over 2}\) b) Những giá trị của \(x ∈ \)\(\left[ {{{ - 3\pi } \over 2},2\pi } \right]\) để hàm số \(y = sin x\) nhận giá trị âm là: \(x ∈ (-π, 0) ∪ (π, 2 π)\) Câu 3 trang 41 SGK Đại số và Giải tích 11.Tìm giá trị lớn nhất của các hàm số sau: a) \(y = \sqrt {2(1 + \cos x)} + 1\) b) \(y = 3\sin (x - {\pi \over 6}) - 2\) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & - 1 \le \cos x \le 1,\forall x \in \mathbb{R} \cr & \Leftrightarrow 0 \le 1 + \cos x \le 2 \Leftrightarrow 0 \le 2(1 + \cos x) \le 4 \cr & \Leftrightarrow 1 \le \sqrt {2(1 + \cos x} + 1 \le 3 \cr} \) Vậy \(y ≤ 3, ∀ x ∈ \mathbb{R}\) Dấu “ = “ xảy ra \(⇔ cos x = 1 ⇔ x = k2π (k ∈ \mathbb{Z})\) Vậy \(y_{max}= 3\) khi \(x = k2π\) b) Ta có: Với mọi \(x ∈ \mathbb{R}\), ta có: \(\eqalign{ & \sin (x - {\pi \over 6}) \le 1 \cr & \Leftrightarrow 3\sin (x - {\pi \over 6}) \le 3 \Leftrightarrow 3\sin (x - {\pi \over 6}) - 2 \le 1 \cr & \Leftrightarrow y \le 1 \cr} \) Vậy \(y_{max} = 1\) khi \(\sin (x - {\pi \over 6}) = 1 \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\). Câu 4 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11. Giải các phương trình: a) \(\sin (x + 1) = {2 \over 3}\) b) \({\sin ^2}2x = {1 \over 2}\) c) \({\cot ^2}{x \over 2} = {1 \over 3}\) d) \(\tan ({\pi \over {12}} + 12x) = - \sqrt 3 \) Giải a) Ta có: \(\eqalign{ & \sin (x + 1) = {2 \over 3} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x + 1 = \arcsin {2 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x + 1 = \pi - \arcsin {2 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = - 1 + \arcsin {2 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = - 1 + \pi - \arcsin {2 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z} \cr} \) b) Ta có: \(\eqalign{ & {\sin ^2}2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow {{1 - \cos 4x} \over 2} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos 4x = 0 \Leftrightarrow 4x = {\pi \over 2} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in \mathbb{Z} \cr} \) c) Ta có: \(\eqalign{ & {\cot ^2}{x \over 2} = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cot {x \over 2} = {{\sqrt 3 } \over 3}(1) \hfill \cr \cot {x \over 2} = - {{\sqrt 3 } \over 3}(2) \hfill \cr} \right. \cr & (1) \Leftrightarrow \cot {x \over 2} = \cot {\pi \over 3} \Leftrightarrow {x \over 2} = {\pi \over 3} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \cr & (2) \Leftrightarrow \cot {x \over 2} = \cot ( - {\pi \over 3}) \Leftrightarrow {x \over 2} = - {\pi \over 3} + k\pi \cr & \Leftrightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi ;k \in \mathbb{Z} \cr} \) d) Ta có: \( \tan ({\pi \over {12}} + 12x) = - \sqrt 3\) \(\Leftrightarrow \tan ({\pi \over {12}} + 12x ) = \tan ({{ - \pi } \over 3})\) \(\Leftrightarrow {\pi \over {12}} + 12x = {{ - \pi } \over 3} + k\pi\) \(\Leftrightarrow x = - {{5\pi } \over {144}} + k{\pi \over {12}},k \in \mathbb{Z} \) Vậy nghiệm của phương trình đã cho là: \(x = {{ - 5\pi } \over {144}} + {{k\pi } \over {12}},k \in \mathbb{Z}\) Câu 5 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11. Giải các phương trình sau: a) \(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\) b) \(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\) c) \(2 sin x + cosx = 1\) d) \(sinx + 1,5 cotx = 0\) Giải a) \(2cos^2x – 3cosx + 1 = 0\) Đặt \(t = cosx\) với điều kiện \(-1 ≤ x ≤ 1\), ta được phương trình bậc hai theo \(t\): \(2{t^2} - 3t + 1 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 1 \hfill \cr t = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Với \(t = 1\), ta có: \(cos x = 1 ⇔ x = k2π, k ∈ \mathbb{Z}\) Với \(t = {1 \over 2}\) ta có: \(\eqalign{ & \cos x = {1 \over 2} = \cos {\pi \over 3} \cr & \Leftrightarrow x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\cr} \) Vậy phương trình đã cho có nghiệm là: \(x = k2\pi ,x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z}\) b) Ta có: \(25sin^2x + 15sin2x + 9 cos^2x = 25\) \(⇔ 25(1-cos^2x) + 30sinxcosx + 9cos^2x= 25\) \(⇔ -25 cos^2x + 30sinxcosx + 9cos^2x = 0\) \(⇔ -16cos^2x + 30sinxcosx = 0\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow - 2\cos x(8\cos x - 15\sin x) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr 8\cos x - 15\sin x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = 0 \hfill \cr \tan x = {8 \over {15}} \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over 2} + k\pi \hfill \cr x = \arctan {8 \over {15}} + k\pi \hfill \cr} \right.,k \in \mathbb{Z} \cr} \) c) Chia cả hai vế của phương trình cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = \sqrt {4 + 1} = \sqrt 5 \) , ta được: \({2 \over {\sqrt 5 }}\sin x + {1 \over {\sqrt 5 }}\cos x = {1 \over {\sqrt 5 }}\)(*) Vì \({({2 \over {\sqrt 5 }})^2} + {({1 \over {\sqrt 5 }})^2} = 1\) nên tồn tại một góc \(α\) thỏa mãn: \(\left\{ \matrix{ \sin \alpha = {2 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr \cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }} \hfill \cr} \right.\) Khi đó, phương trình (*) trở thành: \(\eqalign{ & \sin \alpha {\mathop{\rm sinx}\nolimits} + \cos \alpha \cos x = \cos \alpha\cr & \Leftrightarrow \cos (x - \alpha ) = \cos \alpha \cr & \Leftrightarrow x - \alpha = \pm \alpha + k2\pi \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = 2\alpha + k2\pi \hfill \cr x = k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb{Z}\cr} \) d) Điều kiện \(sin x ≠ 0 ⇔ x ≠ kπ, k ∈ \mathbb{Z}\). Phương trình đã cho biến đổi: \(\eqalign{ & \sin x + {3 \over 2}.{{\cos x} \over {\sin x}}=0 \Leftrightarrow 2{\sin ^2}x + 3\cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2(1 - {\cos ^2}x) + 3\cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x - 3\cos x - 2 = 0 \cr} \) (*) Đặt \(t = cosx\) với điều kiện \(-1 < t < 1\) Khi đó, phương trình (*) trở thành: \(2{t^2} - 3t - 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = 2 \hfill\text{(loại)} \cr t = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right.\) Với \(t = {{ - 1} \over 2}\) \(\eqalign{ & t = {{ - 1} \over 2} \Rightarrow \cos x = {{ - 1} \over 2} = \cos {{2\pi } \over 3} \cr & \Leftrightarrow x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi ,k \in \mathbb{Z} \cr} \) Câu 6 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11. Phương trình \(cosx = sin x\) có số nghiệm thuộc đoạn \([-π, π]\) (A). \(2\) (B). \(4\) (C). \(5\) (D). \(6\) Giải Ta có: \(\eqalign{ & \cos x = \sin x \Leftrightarrow \tan x = 1 \cr & \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + k\pi ,k \in \mathbb{Z} \cr} \) Vì \(x ∈ [-π, π]\) nên: \(\eqalign{ & - \pi \le {\pi \over 4} + k\pi \le \pi \Leftrightarrow - 1 \le {1 \over 4} + k \le 1 \cr & \Leftrightarrow - {5 \over 4} \le k \le {3 \over 4} \cr} \) Ta có: \(k ∈ \mathbb{Z}\) nên \(k ∈ \left\{ { - 1;0} \right\}\). Suy ra phương trình đã cho có hai nghiệm thuộc \([-π, π]\) Vậy chọn A Bài 7. Phương trình \({{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = \tan 2x\) có số nghiệm thuộc khoảng \((0,{\pi \over 2})\) là: A. \(2\) B. \( 3\) C. \(4\) D. \(5\) Giải Điều kiện: \(cos2x ≠ 0 ⇔ sin2x ≠ ± 1\) Ta có: \({{\cos 4x} \over {\cos 2x}} = {{\sin 2x} \over {\cos 2x}} \Rightarrow \cos 4x = \sin 2x\) \(\Leftrightarrow 1 - 2si{n^2}2x = \sin 2x\) \( \Leftrightarrow 2{\sin ^2}2x + \sin 2x - 1 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \sin 2x = - 1 \hfill\text{(loại)} \cr \sin 2x = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.\) Ta có: \(\eqalign{ & \sin 2x = {1 \over 2} = \sin {\pi \over 6} \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 2x = {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr 2x = \pi - {\pi \over 6} + k2\pi \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = {\pi \over {12}} + k\pi \hfill \cr x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi \hfill \cr} \right.k,l \in \mathbb{Z}\cr} \) Ta lại có: \(x \in (0,{\pi \over 2})\) \(x = {\pi \over {12}} + k\pi :0 < {\pi \over {12}} + k\pi < {\pi \over 2}\) \(\Leftrightarrow 0 < {1 \over {12}} + k < {1 \over 2}\) \(\Leftrightarrow {{ - 1} \over {12}} < k < {5 \over {12}}(k \in \mathbb{Z} \Rightarrow k = 0)\) \(x = {{5\pi } \over {12}} + l\pi :0 < {{5\pi } \over {12}} + l\pi < {\pi \over 2}\) \(\Leftrightarrow 0 < {5 \over {12}} + l < {1 \over 2} \) \(\Leftrightarrow {{ - 5} \over {12}} < 1 < {l \over {12}}(l \in \mathbb{Z} \Rightarrow l = 0)\) Vậy phương trình có đúng \(2\) nghiệm thuộc khoảng \((0,{\pi \over 2})\) Vậy chọn A. Câu 8 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11. Nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình \(sin x + sin2x = cosx + 2 cox^2 x\) là: A. \({\pi \over 6}\) B. \({{2\pi } \over 3}\) C. \({\pi \over 4}\) D. \({\pi \over 3}\) Giải Ta có: \(sinx + sin2x = cosx + 2cos^2x \) \(⇔ sinx + 2sinxcosx = cosx + 2cos^2x\) \(⇔ sinx(1 + 2cosx) = cos (1 + 2cosx) \) \(⇔ (1 + 2cosx)(sinx – cosx) = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ 1 + 2\cos x = 0 \hfill \cr \sin x - \cos x = 0 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \cos x = - {1 \over 2} \hfill \cr \tan x = 1 \hfill \cr} \right. \) \(\Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm {{2\pi } \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = {\pi \over 4} + k\pi \hfill \cr} \right.(k \in \mathbb{Z})\) Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm : \(x = {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = {{2\pi } \over 3}\) Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = - {{2\pi } \over 3} + k2\pi \Rightarrow x = - {{2\pi } \over 3} + 2\pi = {{4\pi } \over 3}\) Nghiệm dương nhỏ nhất của họ nghiệm: \(x = {\pi \over 4} + k\pi \Rightarrow x = {\pi \over 4}\) Suy ra nghiệm dương nhỏ nhất của phương trình đã cho là \(x = {\pi \over 4}\) Vậy chọn C Câu 9 trang 41 SGK Đại số và giải tích 11. Nghiệm âm lớn nhất của phương trình \(2tan^2x + 5tanx + 3 = 0\) là: A. \({{ - \pi } \over 3}\) B. \({{ - \pi } \over 4}\) C. \({{ - \pi } \over 6}\) D. \({{ - 5\pi } \over 6}\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & 2{\tan ^2}x + 5\tan x + 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = - 1 \hfill \cr \tan x = {{ - 3} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Dựa vào đường tròn lượng giác ta có: \(x = - {\pi \over 4}\) là nghiệm âm lớn nhất của phương trình đã cho. Vậy chọn B Bài 10. Phương trình \(2tanx – 2 cotx – 3 = 0\) có số nghiệm thuộc khoảng \(({{ - \pi } \over 2},\pi )\) là: A. \(1\) B. \(2\) C. \(3\) D. \(4\) Giải Ta có: \(\eqalign{ & 2\tan x - 2\cot x - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow 2\tan x - {2 \over {\tan x}} - 3 = 0 \cr & \Rightarrow 2{\tan ^2}x - 3\tan x - 2 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ \tan x = 2 \hfill \cr \tan x = {{ - 1} \over 2} \hfill \cr} \right. \cr} \) Vẽ đường tròn lượng giác với giá trị \(tanx = 2\), \(\tan x = {{ - 1} \over 2}\) ta thấy phương trình có ba nghiệm thuộc khoảng . Vậy chọn C
