Câu 1 trang 76 SGK Đại số và giải tích 11. Phát biểu quy tắc cộng, cho ví dụ Trả lời: - Quy tắc: Nếu hành động \(H\) gồm nhiều trường hợp thì số cách thực hiện hành động \(H\) bằng tổng số cách thực hiện từng trường hợp ấy. Ví dụ: Trên một bàn học có \(4\) cây bút chì và \(3\) cây bút mực. Có mấy cách chọn ra một cây bút? + Trường hợp chọn bút chì: có \(4\) cách chọn + Trường hợp chọn bút mực: có \(3\) cách chọn Vậy theo quy tắc cộng có: \(4 + 3 = 7\) cách chọn. Câu 2 trang 76 SGK Đại số và giải tích 11. Phát biểu quy tắc nhân, cho ví dụ áp dụng Trả lời: - Quy tắc: Giả sử ta phải thực hiện hai hành động liên tiếp. Nếu hành động thứ nhất có \(m\) kết quả và ứng với mỗi kết quả đó, hành động thứ hai có \(n\) kết quả, thì có \(m.n\) kết quả của hai hành động liên tiếp ấy. - Ví dụ: Một lớp có \(3\) tổ, mỗi tổ có \(6\) nam và \(4\) nữ. Cần chọn từ mỗi tổ một người để thành lập đội thanh niên tình nguyện mùa hè xanh. Hỏi có bao nhiêu cách để lập được một đội? Giải Để lập đội, từ mỗi đội ta chọn một người: + Có \(10\) cách chọn \(1\) người từ tổ thứ nhất + Có \(10\) cách chọn \(1\) người từ tổ thứ hai + Có \(10\) cách chọn \(1\) người từ tổ thứ ba Từ đó, theo quy tắc nhân ta có: \(10. 10. 10 = 1000\) (cách chọn) Bài 3. Phân biệt sự khác nhau giữa một chỉnh hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử và một tổ hợp chập \(k\) của \(n\) phần tử. Trả lời: Câu 4 trang 76 SGK Đại số và giải tích 11. Có bao nhiêu số chẵn có \(4\) chữ số được tạo thành từ các số \(0, 1, 2, 3, 4, 5, 6\) sao cho: a) Các chữ số có thể giống nhau b) Các chữ số khác nhau. Trả lời: Tập hợp \(A = \left\{{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}\right\}\) a) Gọi số có \(4\) chữ số tạo thành là \(\overline {abcd} \) Ta có: \(\overline {abcd} \) chẵn nên: Số \(\overline {abcd} \left\{ \matrix{ a,b,c,d \in A \hfill \cr a \ne 0 \hfill \cr d \in \left\{ {0,2,4,6} \right\} \hfill \cr} \right.\) +) Có \(4\) cách để chọn \(d\) +) \(a ≠ 0\) ⇒ có \(6\) cách chọn \(a\) +) Có \(7\) cách chọn \(b\) và \(7\) cách chọn \(c\) Vậy : \(4.6.7.7 = 1176\) số chẵn \(\overline {abcd} \) trong đó, các chữ số có thể giống nhau b) Gọi \(\overline {abcd} \) là số cần tìm Trường hợp 1: \(\overline {abc0} (d = 0)\) Vì \(a, b, c\) đôi một khác nhau và khác \(d\) nên có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \) Vậy có \(A_6^3\) số \(\overline {abc0} \) Trường hợp 2: \(\overline {abcd} \) (với \(d ≠ 0\)) +) \(d ∈ \left\{{2, 4, 6}\right\}\) \(⇒\) có \(3\) cách chọn \(d\) +) \(a ≠ 0, a ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(a\) +) \(b ≠ a, b ≠ d\) nên có \(5\) cách chọn \(b\) +) \(c ≠ a, b, d\) nên có \(4\) cách chọn \(c\) \(⇒\) Có \(3. 5. 5. 4 = 300\) số \(\overline {abcd} \) loại 2 Vậy có: \(A_6^3 + 300 = 420\) số \(\overline {abcd} \) thỏa mãn yêu cầu của đề bài. Câu 5 trang 76 SGK Đại số và giải tích 11. Xếp ngẫu nhiên ba bạn nam và ba bạn nữ ngồi vào sáu ghế kê theo hàng ngang. Tìm xác suất sao cho: a) Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau b) Ba bạn nam ngồi cạnh nhau Trả lời: Số cách xếp \(3\) nam và \(3\) nữ vào \(6\) ghế là \(6!\) Cách. Suy ra: \(n(\Omega ) = 6! = 720\) a) Ta gọi \(A\) là biến cố : “Nam, nữ ngồi xen kẽ nhau” Ta đánh số ghế như sau: Trường hợp 1: + Nam ngồi ghế số \(1, 3, 5\) suy ra có \(3!\) cách xếp + Nữ ngồi ghế số \(2, 4, 6\) suy ra có \(3!\) cách xếp Suy ra trường hợp 1 có \(3!.3! = 36\) cách xếp Trường hợp 2: + Nữ ngồi ghế số \(1, 3, 5\) suy ra có \(3!\) cách xếp + Nam ngồi ghế số \(2, 4, 6\) suy ra có \(3!\) cách xếp Suy ra trường hợp 1 có \(3!.3! = 36\) cách xếp Suy ra: \(N(A) = 3!.3! + 3!.3! = 36 + 36 = 72\) cách xếp. Vậy \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{72} \over {720}} = {1 \over {10}} = 0,1\) b) Gọi biến cố \(B\): “Ba bạn nam ngồi cạnh nhau” Xem \(3\) bạn nam như một phần tử \(N\) và \(N\) cùng \(3\) bạn nữ được xem như ngồi vào \(4\) ghế được đánh số như sau: _ Số cách xếp \(N\) và \(3\) nữ vào \(4\) ghế là \(4!\) _ Mỗi cách hoán vị \(3\) nam cho nhau trong cùng một vị trí ta có thêm \(3!\) cách xếp khác nhau. Suy ra \(n(B) = 4!.3!=144\) Vậy : \(P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{144} \over {720}} = {1 \over 5} = 0,2\) Câu 6 trang 76 SGK Đại số và giải tích 11. Từ một hộp chứa sáu quả cầu trắng và bốn quả cầu đen, lấy ngẫu nhiên đồng thời bốn quả. Tính xác suất sao cho: a) Bốn quả lấy ra cùng màu b) Có ít nhất một quả màu trắng Trả lời: Ta có:\(n(\Omega ) = C_{10}^4 = 210\) a) Có \(C_6^4\) cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu trắng và có \(C_4^4\) cách chọn bốn quả lấy ra cùng màu đen. Kí hiệu \(A\) là biến cố “Bốn quả lấy ra cùng màu”. Ta có: \(n(A)\) = \(C_6^4\)+\(C_4^4\)=\( 16\) Vậy: \(P(A) = {{n(A)} \over {n(\Omega )}} = {{16} \over {210}} = {8 \over {105}}\) b) Kí hiệu \(B\) là biến cố: “ Bốn quả lấy ra có ít nhất một quả màu trắng” Ta có: \(\eqalign{ & n( \overline B) = C_4^4 = 1 \cr & \Rightarrow n(B) = C_{10}^4 - 1 = 209 \cr} \) Vậy: \(P(B) = {{n(B)} \over {n(\Omega )}} = {{209} \over {210}}\) Câu 7 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Gieo một con xúc sắc ba lần. Tính xác suất sao cho mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần. Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \Omega = \left\{ {{\rm{\{ j,j,k\} }}|1 \le i,j,k \le 6} \right\} \cr & \Rightarrow n(\Omega ) = {6^3} = 216 \cr} \) Gọi \(A\) là biến cố: “Mặt sáu chấm xuất hiện ít nhất một lần” Suy ra biến cố đối là \(\overline A\): “Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm”. Lần gieo thứ nhất: số lần không xuất hiện mặt sáu chấm là \(5\) (lần) Lần gieo thứ hai và thứ ba: tương tự có \(5\) lần không xuất hiện mặt sáu chấm Suy ra: \(n(\overline A ) = {5^3} = 125 \Rightarrow P(\bar A) = {{n(\bar A)} \over {n(\Omega )}} = {{125} \over {216}}\) Do đó:\(P(A) = 1 - P(\bar A) = 1 - {{125} \over {216}} = {{91} \over {216}} \approx 0,4213\). Câu 8 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Cho một lục giác đều \(ABCDEF\). Viết các chữ cái \(ABCDEF\) vào \(6\) cái thẻ. Lấy ngẫu nhiên hai thẻ. Tìm xác suất sao cho đoạn thẳng mà các đầu mút là các điểm được ghi trên hai thẻ đó là: a) Các cạnh của lục giác b) Đường chéo của lục giác c) Đường chéo nối hai đỉnh đối diện của lục giác. Trả lời: Không gian mẫu là số các tổ hợp chập \(2\) của \(6\) (đỉnh) Do đó: \(n(\Omega ) = C_6^2 = 15\) Gọi \(A, B, C\) là ba biến cố cần tìm xác suất tương ứng với câu \(a, b, c\). a) Vì số cạnh của đa giác là \(6\) nên \(n(A) = 6\) Suy ra: \(P(\bar A) = {6 \over {15}} = {2 \over 5}\) b) Vì số đường chéo của lục giác là số đoạn thẳng nối \(2\) đỉnh của lục giác trừ đi số cạnh của lục giác Suy ra: \(n(B) = 15 – 6 = 9\) Vậy: \(P(B) = {9 \over {15}} = {3 \over 5}\) c) Lục giác có \(3\) cặp đỉnh đối diện nên \(n(C) = 3\) Vậy \(P(C) = {{n(C)} \over {n(\Omega )}} = {3 \over {15}} = {1 \over 5}\) Câu 9 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Gieo đồng thời hai con súc sắc. Tính xác suất sao cho: a) Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn b) Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ. Trả lời: Không gian mẫu là: \(\Omega = \left\{ {(i,j) |1\le i,j \le 6} \right\} \Rightarrow n(\Omega ) = {6^2} = 36\) a) \(A\) là biến cố “Hai con xúc sắc đều xuất hiện mặt chẵn” Suy ra: \(A \)={ (2, 2); (4, 4); ( 6, 6); (2, 4); (4, 2); (2, 6); (6, 2); (4, 6); (6, 4)} Suy ra: \(n(A) = 9\) Vậy \(P(A) = {9 \over {36}} = {1 \over 4}\) b) gọi \(B\) là biến cố: “Tích các số chấm trên hai con xúc sắc là số lẻ”. \( B\) = {(1, 1); (1, 3); (1, 5); (3, 1); (3, 3); (3, 5); (5, 1); (5, 3); (5, 5)} \(⇒ n(B) = 9\) Vậy \(P(B) = {9 \over {36}} = {1 \over 4}\) Câu 10 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Lấy hai con bài từ cỗ bài tú lơ khơ \(52\) con. Số cách lấy là: A. 104 B. 1326 C. 450 D. 2652 Trả lời: Số cách lấy là: \(C_52^2 = 1326\) (cách) Vậy chọn B Bài 11. Năm người được xếp ngồi vào quanh một bàn tròn với năm ghế. Số cách xếp là: A. 50 B. 100 C. 120 D. 24 Trả lời: Chọn một người ngồi vào một ghế nào đó trước. Số cách xếp bốn người còn lại là: \(4! = 24\) (cách) Vậy chọn D. Bài 12. Gieo một con xúc sắc hai lần. Xác suất để ít nhất một lần xuất hiện mặt sáu chấm là: A. \({{12} \over {36}}\) B. \({{11} \over {36}}\) C. \({6 \over {36}}\) D. \({8 \over {36}}\) Trả lời: Ta có: \(n(\Omega ) = {6^2} = 36\) Gọi \(A\) là biến cố cần tính xác suất. \( \Rightarrow \bar A\) là biến cố: “ Không lần nào xuất hiện mặt sáu chấm” \(\eqalign{ & \Rightarrow n(\bar A) = {5^2} = 25 \cr & \Rightarrow P(\bar A) = {{25} \over {36}} \Rightarrow P(A) = 1 - {{25} \over {36}} = {{11} \over {36}} \cr} \) Vậy chọn B Câu 13 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Từ một hộp chứa ba quả cầu trắng và hai quả cầu đen lấy ngẫu nhiên hai quả. Xác suất để lấy được cả hai quả trắng là: A. \({9 \over {30}}\) B. \( - {9 \over {30}}\) C. \({{10} \over {30}}\) D. \({6 \over {30}}\) Trả lời: Ta có: \(n(\Omega ) = C_5^2 = 10\) Gọi \(A\) là biến cố của đề \( \Rightarrow n(A) = C_3^2 = 3 \Rightarrow P(A) = {3 \over {10}} = {9 \over {30}}\) Vậy chọn A Câu 14 trang 77 SGK Đại số và giải tích 11. Gieo ba con xúc sắc. Xác suất để số chấm xuất hiện trên ba con như nhau là: A. \({{12} \over {216}}\) B. \({1 \over {216}}\) C. \({6 \over {216}}\) D. \({3 \over {216}}\) Trả lời: Ta có: \(n(\Omega ) = 6.6.6 = 216\) Gọi \(A\) là biến cố của đề \(⇒ A\) = {(1, 1, 1); (2, 2, 2); (3, 3, 3); (4, 4, 4); (5, 5, 5); (6, 6, 6)} Suy ra: \(n(A) = 6 \Rightarrow P(A) = {6 \over {216}}\) Vậy chọn C Câu 15 trang 78 SGK Đại số và giải tích 11. Gieo một đồng tiền cân đối và đồng chất bốn lần. Xác suất để cả bốn lần xuất hiện mặt sấp là: A. \({4 \over {16}}\) B. \({2 \over {16}}\) C. \({1 \over {16}}\) D. \({6 \over {16}}\) Trả lời Ta có: \(n(\Omega ) = 2.2.2.2 = 16\) Gọi \(A\) là biến cố của đề. Suy ra \(A = \left\{{SSSS}\right\}\) \( \Rightarrow n(A) = 1 \Rightarrow P(A) = {1 \over {16}}\) Vậy chọn C
