Bài 1 trang 92 sgk toán 11. Viết năm số hạng đầu của các dãy số có số hạng tổng quát un cho bởi công thức: a) \(u_n=\frac{n}{2^{n}-1}\); b) \(u_n= \frac{2^{n}-1}{2^{n}+1}\) c) \(u_n=(1+\frac{1}{n})^{n}\); d) \(u_n \frac{n}{\sqrt{n^{2}+1}}\) Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1= 1\); \(u_2= \frac{2}{3}\), \( u_{3}=\frac{3}{7}; u_{4}=\frac{4}{15};u_{5}=\frac{5}{31}\) b) Năm số hạng đầu của dãy số là \( u_{1}=\frac{1}{3},u_{2}=\frac{3}{5};u_{3}=\frac{7}{9};u_{4}=\frac{15}{17};u_{5}=\frac{31}{33}\) c) Năm số hạng đầu của dãy số là \(u_1=2\); \( u_{2}=\frac{9}{4};u_{3}=\frac{64}{27};u_{4}=\frac{625}{256};u_{5}=\frac{7776}{3125}\) d) Năm số hạng đầu của dãy số là \( u_{1}=\frac{1}{\sqrt{2}};u_{2}=\frac{2}{\sqrt{5}};u_{3}=\frac{3}{\sqrt{10}};u_{4}=\frac{4}{\sqrt{17}};u_{5}=\frac{5}{\sqrt{26}}\) Bài 2 trang 92 sgk toán 11. Cho dãy số \(u_n\) , biết: \( u_1 = -1; u_{n+1} = u_n +3\) với \(n ≥ 1\). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số b) Chứng minh bằng phương pháp quy nạp: \(u_n = 3n -4\). Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(-1, 2, 5, 8, 11\). b) Chứng minh \(u_n = 3n - 4\) bằng phương pháp quy nạp: Với \(n =1\) thì \(u_1= 3.1 - 4 = -1\), đúng. Giả sử hệ thức đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là \(u_k= 3k -4\). Ta chứng minh hệ thức cũng đúng với \(n = k + 1\). Thật vậy, theo công thức của dãy số và giả thiết quy nạp, ta có: \(u_{k+1}= u_k+ 3 = 3k - 4 + 3 = 3(k + 1) - 4\). Vậy hệ thức đúng với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) tức là công thức đã được chứng minh. Bài 3 trang 92 sgk toán 11. Dãy số \(u_n\) cho bởi: \(u_1= 3\); \(u_{n+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{n}}\),\( n ≥ 1\). a) Viết năm số hạng đầu của dãy số. b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát và chứng minh công thức đó bằng phương pháp quy nạp Hướng dẫn giải: a) Năm số hạng đầu của dãy số là \(3, \sqrt{10}, \sqrt{11}, \sqrt{12}, \sqrt{13}\). b) Ta có: \(u_1= 3 = \sqrt9 = \sqrt{(1 + 8)}\) \( u_2= \sqrt{10} = \sqrt{(2 + 8)}\) \(u_3= \sqrt{11} = \sqrt{(3 + 8)}\) \(u_4= \sqrt{12} = \sqrt{(4 + 8)}\) ........... Từ trên ta dự đoán \(u_n= \sqrt{(n + 8)}\), với \(n \in {\mathbb N}^*\) (1) Chứng minh công thức (1) bằng phương pháp quy nạp: - Với \(n = 1\), rõ ràng công thức (1) là đúng. - Giả sử (1) đúng với \(n = k ≥ 1\), tức là có \(u_k = \sqrt{(k + 8)}\) với \(k ≥ 1\). Theo công thức dãy số, ta có: \(u_{k+1}\)= \( \sqrt{1+u^{2}_{k}}=\sqrt{1+(\sqrt{k+8})^{2}}=\sqrt{(k+1)+8}\). Như vậy công thức (1) đúng với \(n = k + 1\). Vậy công thức (1) được chứng minh. Bài 4 trang 92 sgk toán 11. Xét tính tăng, giảm của các dãy số \(u_n\) biết: a) \(u_n= \frac{1}{n}-2\) ; b) \(u_n= \frac{n-1}{n+1}\); c) \({u_n} = {( - 1)^n}({2^n} + 1)\) d) \(u_n= \frac{2n+1}{5n+2}\). Hướng dẫn giải: a) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{1}{n+1} - 2 - ( \frac{1}{n}\) - 2) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}\). Vì \( \frac{1}{n+1}\) < \( \frac{1}{n}\) nên \(u_{n+1}-u_n\) = \( \frac{1}{n+1}\) - \( \frac{1}{n}< 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) . Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm. b) Xét hiệu \(u_{n+1}-u_n= \frac{n+1-1}{n+1+1}-\frac{n-1}{n+1}=\frac{n}{n+2}-\frac{n-1}{n+1}\) = \( \frac{n^{2}+n- n^{2}-n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{2}{(n+1)(n+2)}>0\) Vậy \(u_{n+1}> u_n\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) hay dãy số đã cho là dãy số tăng. c) Các số hạng ban đầu có thừa số \((-1)^n\) nên dãy số không tăng và cũng không giảm. Vì: +) \((-1)^n>0\) nếu \(n\) chẵn, do đó \(u_n>0\) +) \((-1)^n<0\) nếu \(n\) lẻ, do đó \(u_n<0\) d) Làm tương tự như câu a) và b) hoặc lập tỉ số \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) (vì \(u_n> 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) ) rồi so sánh với \(1\). Ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}\) \( =\frac{2n+3}{5n+7}.\frac{5n+2}{2n+1}=\frac{10n^{2}+19n+6}{10n^{2}+19n+7}<1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Vậy dãy số đã cho là dãy số giảm dần. Bài 5 trang 92 sgk toán 11. Trong các dãy số sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên, dãy số nào bị chặn? a) \(u_n= 2n^2-1\); b) \( u_n=\frac{1}{n(n+2)}\) c) \(u_n= \frac{1}{2n^{2}-1}\); d) \(u_n= sinn + cosn\) Hướng dẫn giải: a) Dãy số bị chặn dưới vì \(u_n= 2n^2-1≥ 1\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) và không bị chặn trên vì với số \(M\) dương lớn bất kì, ta có \(2n^2-1 > M \Leftrightarrow n > \sqrt{\frac{M+1}{2}}\). tức là luôn tồn tại \( n ≥ \left [ \sqrt{\frac{M+1}{2}} \right ] + 1\) để \(2 n^{2}- 1 > M\) b) Dễ thấy \(u_n > 0\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Mặt khác, vì \(n ≥ 1\) nên \(n^2≥ 1\) và \(2n ≥ 2\). Do đó \(n(n + 2) = n^2+ 2n ≥ 3\), suy ra \( \frac{1}{n(n+2)}\) \( \leq \frac{1}{3}\). Vậy dãy số bị chặn \(0 < u_n\) \(\leq \frac{1}{3}\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) c) Vì \(n ≥ 1\) nên \(2n^2- 1 > 0\), suy ra \( \frac{1}{2n^{2}-1} > 0\) Mặt khác \(n^2 ≥ 1\) nên \(2n^2≥ 2\) hay \(2n^2- 1≥ 1\), suy ra \( u_{n}=\frac{1}{2n^{2}-1} ≤ 1\). Vậy \(0 < u_n ≤ 1\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\), tức dãy số bị chặn. d) Ta có: \(sinn + cosn = \sqrt 2sin(n + \frac{\pi }{4})\), với mọi \(n\). Do đó: \(-\sqrt2 ≤ sinn + cosn ≤ \sqrt2\) với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\) Vậy \(-\sqrt 2 < u_n< \sqrt 2\), với mọi \(n \in {\mathbb N}^*\).
