Đại số và Giải tích 11 cơ bản - Chương 3 - Bài 4. Cấp số nhân

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Bài 1 trang 103 sgk toán 11. Chứng minh các dãy số \(( \frac{3}{5} . 2^n)\), \( (\frac{5}{2^{n}})\), \( ((-\frac{1}{2})^{n})\) là các cấp số nhân.

    Hướng dẫn giải:

    a) Với mọi \(∀n\in {\mathbb N}^*\), ta có \( \frac{u_{n+1}}{u_{n}}= ( \frac{3}{5} . 2^{n+1}) : (\frac{3}{5}. 2^n) = 2\).

    Suy ra \(u_{n+1}= u_n.2\), với \(n\in {\mathbb N}^*\)

    Vậy dãy số đã cho là một câp số nhân với \(u_1= \frac{6}{5}\), \(q = 2\)

    b) Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có \(u_{n+1}= \frac{5}{2^{n+1}}=\frac{5}{2^{n}}.\frac{1}{2}\)=\( u_n.\frac{1}{2}\)

    Vậy dãy số đã cho là một cấp số nhân với \(u_1= \frac{5}{2}\),\(q= \frac{1}{2}\)

    c) Với mọi \(∀ n\in {\mathbb N}^*\), ta có \(u_{n+1}= (-\frac{1}{2})^{n+1}=(-\frac{1}{2})^{n}.(-\frac{1}{2})=u_{n}.\frac{-1}{2}\).

    Vậy dãy số đã cho là cấp số nhân với \(u_1= \frac{-1}{2}\),\(q= \frac{-1}{2}\).


    Bài 2 trang 103 sgk toán 11. Cho cấp số nhân với công bội \(q\).

    a) Biết \(u_1= 2, u_6= 486\). Tìm \(q\)

    b) Biết \(q = \frac{2}{3}\), \(u_4= \frac{8}{21}\). Tìm \(u_1\)

    c) Biết \(u_1= 3, q = -2\). Hỏi số \(192\) là số hạng thứ mấy?

    Hướng dẫn giải:

    Trong bài này ta áp dụng công thức tính số hạng tổng quát \(u_n= u_1.q^{n-1}\) biết hai đại lượng, ta sẽ tìm đại lượng còn lại:

    a) \(q = 3\).

    b) \(u_1= \frac{9}{7}\)

    c) Theo đề bài ta có \(u_n= 192\), từ đó ta tìm được \(n\). Đáp số: \(n =7\).



    Bài 3 trang 103 sgk toán 11. Tìm các số hạng của cấp số nhân \((u_n)\) có năm số hạng, biết:

    a) \(u_3= 3\) và \(u_5= 27\);

    b) \(u_4– u_2= 25\) và \(u_3– u_1= 50\)

    Hướng dẫn giải:

    a) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát, ta có:

    \(u_3= 3 = u_1.q^2\) và \(u_5= 27 = u_1.q^4\)

    Vì \(27 = ({u_1}{q^2}).{q^2} = 3.{q^2}\) nên \({q^2} = 9\) hay \(q = \pm 3\)

    Thay \(q^2= 9\) vào công thức chứa \(u_3\), ta có \(u_1\)= \( \frac{1}{3}\).

    - Nếu \(q = 3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, 1, 3, 9, 27\).

    - Nếu \(q = -3\), ta có cấp số nhân: \( \frac{1}{3}, -1, 3, -9, 27\).

    b) Áp dụng công thức tính số hạng tổng quát từ giả thiết, ta có:

    \( \left\{\begin{matrix} u_{1}q^{3}-u_{1}q= 25\\ u_{1}q^{2}-u_{1}=50 \end{matrix}\right.\) hay \( \left\{\begin{matrix} u_{1}q(q^{2}-1)=25(1)\\ u_{1}(q^{2}-1)=50 (2)\end{matrix}\right.\)

    Chia (1) cho (2) theo vế với vế ta được: \(50.q = 25\) \(\Rightarrow q =\) \( \frac{1}{2}\).

    Và \(u_1= \frac{50}{q^{2}-1}=\frac{50}{\frac{1}{4}-1}=-\frac{200}{3}\).

    Ta có cấp số nhân \( \frac{-200}{3},\frac{-100}{3},\frac{-50}{3},\frac{-25}{3},\frac{-25}{6}\).



    Bài 4 trang 104 sgk toán 11. Tìm cấp số nhân có sáu số hạng, biết rằng tổng của năm số hạng đầu là \(31\) và tổng của năm số hạng sau là \(62\).

    Hướng dẫn giải:

    Giả sử có cấp số nhân: \({u_1},{u_2},{u_3},{u_4},{u_5},{u_6}\)

    Theo giả thiết ta có:

    \({u_1} + {u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} = 31\). (1)

    \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 62\). (2)

    Nhân hai vế của (1) với \(q\), ta được: \({u_1}q + {u_2}q + {u_3}q + {u_4}q + {u_5}q = 31q\)

    hay \({u_2} + {u_3} + {u_4} + {u_5} + {u_6} = 31q\)

    Suy ra \(62 = 31.q\) hay \(q = 2\).

    Ta có \(S_5= 31 = {{{u_1}(1 - {2^5})} \over {1 - 2}}\) nên suy ra \(u_1= 1\).

    Vậy ta có cấp số nhân \(1, 2, 4, 8, 16, 32\).



    Bài 5 trang 104 sgk toán 11. Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh X là \(1,4\% \). Biết rằng số dân của tỉnh hiện nay là \(1,8\) triệu người. Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm số dân của tỉnh đó là bao nhiêu?

    Hướng dẫn giải:

    Giả sử số dân của một tỉnh đó hiện nay là \(N\). Vì tỉ lệ tăng dân số là \(1,4\%\) nên sau một năm, số dân tăng thêm là \(1,4\%.N\).

    Vậy số dân của tỉnh đó vào năm sau là

    \(N + 1,4\%.N = 101,4\%.N =\) \( \frac{101,4}{100}.N\).

    Như vậy số dân của tỉnh đó sau mỗi năm lập thành cấp số nhân.

    \(N\), \( \frac{101,4}{100}.N\), \( (\frac{101,4}{100})^{2}.N\), ...

    Vậy nếu \(N = 1,8\) triệu người, áp dụng công thức tính số hạng tổng quát của cấp số nhân thì sau \(5\) năm số dân của tỉnh là \( (\frac{101,4}{100})^{5}.1,8 ≈ 1,9\) (triệu người)

    và sau \(10\) năm sẽ là \( (\frac{101,4}{100})^{10}.1,8 ≈ 2,1\) (triệu người).



    Bài 6 trang 104 sgk toán 11. Cho hình vuông \(C_1\) có cạnh bằng \(4\). Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông lại làm tiếp tục như trên để được hình vuông khác. Tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông. Gọi \(a_1\) là độ dài cạnh của hình vuông \(C_n\). Chứng minh dãy số \((a_n)\) là một cấp số nhân.

    Hướng dẫn giải:

    [​IMG]


    Xét dãy số \((a_n)\), ta có \(a_1= 4\).

    Giả sử hình vuông cạnh \(C_n\) có độ dài cạnh là \(a_n\). Ta sẽ tính cạnh \(a_{n+1}\) của hình vuông \(C_{n+1}\) Theo hình 44, áp dụng định lí Pi-ta-go, ta có:

    \({a_{n + 1}} = \sqrt {{{\left( {{1 \over 4}{a_n}} \right)}^2} + {{\left( {{3 \over 4}{a_n}} \right)}^2}} = {a_n}.{{\sqrt {10} } \over 4}\forall n \in {\mathbb N}^*\)

    Vậy dãy số \((a_n)\) là cấp số nhân với số hạng đầu là \(a_1= 4\) và công bội \(q = {{\sqrt {10} } \over 4}\).