Câu 1 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Khi nào thì cấp số cộng là dãy số tăng, dãy số giảm? Trả lời: Xét cấp số cộng \((u_n)\) với \(u_{n+1}= u_n+ d\), ta có: \(u_{n+1}– u_n= d\) +) \(u_{n+1}> u_n\) nếu \(d > 0\) +) \(u_{n+1}< u_n\) nếu \(d < 0\) Vậy cấp số cộng \((u_n)\) +) Tăng nếu \(d > 0\) +) Giảm nếu \(d < 0\). Câu 2 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Cho cấp số nhân có \(u_1< 0\) và công bội \(q\). Hỏi các số hạng khác sẽ mang dấu gì trong các trường hợp sau: a) \(q > 0\) b) \(q < 0\) Trả lời Ta có: \(u_n=u_1q^{n-1}\) a) Nếu \(\left\{ \matrix{ q > 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right. \Rightarrow {u_n} < 0,\forall n\) b) Nếu \(\left\{ \matrix{ q < 0 \hfill \cr {u_1} < 0 \hfill \cr} \right.\) Thì \(u_n< 0\) khi \(n – 1\) chẵn và \(u_n> 0\) khi \(n – 1\) lẻ. Câu 3 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Cho hai cấp số cộng có cùng số các số hạng, Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành một cấp số cộng không? Vì sao? Cho ví dụ minh họa. Trả lời: Gọi \((u_n)\) và \((a_n)\) là hai cấp số cộng có công sai lần lượt là \(d_1\) và \(d_2\)và có cùng \(n\) số hạng. Ta có: \(u_n= u_1+ (n -1) d_1\) \(a_n= a_1+ (n – 1)d_2\) \(⇒ u_n+ a_n= u_1 +a_1+ (n – 1).(d_1+ d_2)\) Vậy \(u_n+ a_n\) là cấp số cộng có số hạng đầu là \(u_1+a_1\) và công sai là \(d_1+d_2\) Ví dụ: \(1, 3, 5, 7 ,...\) là cấp số cộng có công sai \(d_1= 2\) \(0, 5, 10, 15,...\) là cấp số cộng có công sai \(d_2= 5\) \(⇒ 1, 8, 15, 22 ,...\) là cấp số cộng có công sai là \(d = d_1+d_2= 2 + 5 = 7\). Câu 4 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Cho hai cấp số nhân có cùng số các số hạng. Tính các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số nhân không? Vì sao? Cho một ví dụ minh họa. Trả lời: Ta có \((a_n)\) là cấp số nhân và \((b_n)\) là cấp số nhân tương ứng. Ta có: \({a_n} = {\rm{ }}{a_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1},{\rm{ }}{q_1}\) là hằng số \({b_n} = {\rm{ }}{b_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1},{\rm{ }}{q_2}\) là hằng số Khi đó: \({a_n}.{b_n} = {\rm{ }} = {\rm{ }}{a_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1}.{\rm{ }}{b_1}.{\rm{ }}{q_1}^{n - 1} = {\rm{ }}({a_1}{b_1}){({q_1}{q_2})^{n - 1}}\) Vậy dãy số \(a_nb_n\) là một cấp số nhân có công bội : \(q = q_1q_2\) Ví dụ: \(1, 2, 4 ,...\) là cấp số nhân có công bội \(q_1= 2\) \(3, 9, 27, ...\) là cấp số nhân có công bội \(q_2= 3\) Suy ra: \(3, 18, 108...\) là cấp số nhân có công bội: \(q = q_1q_2= 2.3 = 6\). Câu 5 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\), ta có: a) \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) b) \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) Trả lời: a) Với \(n = 1\), ta có: \(13^1– 1 = 13– 1 = 12 ⋮ 6\) Giả sử: \(13^k- 1\) \( ⋮ \) \(6\) với mọi \(k ≥ 1\) Ta chứng minh: \(13^{k+1}– 1\) chia hết cho \(6\) Thật vậy: \({13^{k + 1}}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{13^{k + 1}}-{\rm{ }}{13^k} + {\rm{ }}{13^k} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}{12.13^k} + {13^k}-{\rm{ }}1\) Vì : \(12.13^k\) \(⋮\) \(6\) và \(13^k– 1\) \(⋮\) \(6\) (theo giả thiết quy nạp) Nên : \(13^{k+1}– 1\) \(⋮\) \(6\) Vậy \(13^n-1\) chia hết cho \(6\) b) Với \(n = 1\), ta có: \(3.1^3+ 15.1 = 18\) \(⋮\) \(9\) Giả sử: \(3k^3+ 15k\) \(⋮\) \(9\). Ta chứng minh: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\) Thật vậy: \(3{\left( {k + 1} \right)^3} + 15\left( {k + 1} \right) = 3.{\rm{ }}({k^3} + {\rm{ }}3{k^2} + {\rm{ }}3k + 1) + 15\left( {k + 1} \right)\) \(= 3k^3+ 9k^2+ 9k + 15k + 18\) \(= 3k^3+ 15k + 9(k^2+ k + 2)\) Vì \(3k^3 + 15k\) \(⋮ \) \(9\) (theo giả thiết quy nạp) và \(9(k^2+ k + 2)\) \(⋮\) \(9\) Nên: \(3(k + 1)^3+ 15(k + 1)\) \(⋮\) \(9\) Vậy: \(3n^3+ 15n\) chia hết cho \(9\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\) Câu 6 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_1= 2, u_{n+1} =2u_n– 1\) (với \(n ≥ 1\)) a) Viết năm số hạng đầu của dãy b) Chứng minh: \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) bằng phương pháp quy nạp. Trả lời: a) Ta có: \({u_1} = {\rm{ }}2,{\rm{ }}{u_2} = {\rm{ }}2{u_1}-{\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}3,{\rm{ }}{u_3} = {\rm{ }}2{u_2}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}5\) \({u_4} = {\rm{ }}2{u_3} - 1{\rm{ }} = {\rm{ }}9,{\rm{ }}{u_5} = {\rm{ }}2{u_4}-{\rm{ }}1 = {\rm{ }}17\) b) Với \(n = 1\), ta có: \(u_1= 2^{1-1}+ 1 = 2\) công thức đúng Giả sử công thức đúng với \(n = k\). Nghĩa là: \({u_k} = {\rm{ }}{2^{k - 1}} + {\rm{ }}1\) Ta chứng minh công thức cũng đúng với \(n = k + 1\), nghĩa là ta phải chứng minh: \({u^{k + 1}} = {\rm{ }}{2^{\left( {k + 1} \right) - 1}} + {\rm{ }}1{\rm{ }} = {\rm{ }}{2^k} + {\rm{ }}1\) Ta có: \({u_{k + {\rm{ }}1}} = 2{u_k} - 1 = 2({2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}1) - 1 = {2.2^{k{\rm{ }} - 1}} + {\rm{ }}2-1 = {2^k} + 1\) (đpcm) Vậy \(u_n= 2^{n-1}+ 1\) với mọi \(n\in {\mathbb N}^*\). Câu 7 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Xét tính tăng, giảm và bị chặn của các dãy số \((u_n)\), biết: a) \({u_n} = n + {1 \over n}\) b) \({u_n} = {( - 1)^n}\sin {1 \over n}\) c) \({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n \) Trả lời: Xét hiệu: \(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = (n + 1 + {1 \over {n + 1}}) - (n + {1 \over n}) = 1 + {1 \over {n + 1}} - {1 \over n} \cr & = {{{n^2} + n - 1} \over {n(n + 1)}} > 0,\forall n \in {N^*} \cr} \) Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng (1) Mặt khác: \({u_n} = n + {1 \over n} \ge 2\sqrt {n.{1 \over n}} = 2,\forall n \in {N^*}\) Nên \(u_n\) là dãy số bị chặn dưới (2) Ta thấy khi \(n\) càng lớn thì \(u_n\) càng lớn nên \(u_n\) là dãy số không bị chặn trên (3) Từ (1), (2), (3) ta có \(u_n\) là dãy số tăng và bị chặn dưới. b) Ta có: \(u_1= (-1)^0sin1 = sin 1 > 0\) \(\eqalign{ & {u_2} = {\left( { - 1} \right)^1}.\sin {1 \over 2} = - \sin {1 \over 2} < 0 \cr & {u_3} = {( - 1)^2}.\sin {1 \over 3} = \sin {1 \over 3} > 0 \cr} \) \(⇒ u_1> u_2\) và \(u_2< u_3\) Vậy \(u_n\) là dãy số tăng không đơn điệu. Ta lại có: \(\eqalign{ & |{u_n}| = |{( - 1)^{n - 1}}.\sin {1 \over n}| = |\sin {1 \over n}| \le 1 \cr & \Leftrightarrow - 1 \le {u_n} \le 1 \cr} \) Vậy \(u_n\) là dãy số bị chặn và không đơn điệu. c) Ta có: \({u_n} = \sqrt {n + 1} - \sqrt n = {{n + 1 - n} \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }}\) Xét hiệu: \(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {1 \over {\sqrt {(n + 1) + 1} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr & = {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} - {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \cr} \) Ta có: \(\left\{ \matrix{ \sqrt {n + 2} > \sqrt {n + 1} \hfill \cr \sqrt {n + 1} > \sqrt n \hfill \cr} \right. \Rightarrow \sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} > \sqrt {n + 1} + \sqrt n \) \( \Rightarrow {1 \over {\sqrt {n + 2} + \sqrt {n + 1} }} < {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \Rightarrow {u_{n + 1}} - {u_n} < 0\) ⇒ un là dãy số giảm (1) Mặt khác: \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} > 0,\forall n \in N*\) Suy ra: un là dãy số bị chặn dưới (2) Ta lại có: với n ≥ 1 thì \(\sqrt {n + 1} + \sqrt n \ge \sqrt 2 + 1\) Nên \({u_n} = {1 \over {\sqrt {n + 1} + \sqrt n }} \le {1 \over {\sqrt 2 + 1}}\) Suy ra: \(u_n\) là dãy số bị chặn trên (3) Từ (1), (2) và (3) ta có: \(u_n\) là dãy số giảm và bị chặn Câu 8 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công sai \(d\) của các cấp số cộng (un) biết: a) \(\left\{ \matrix{5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\) b) \(\left\{ \matrix{{u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right.\) Trả lời: a) Ta có: \(\left\{ \matrix{ 5{u_1} + 10u_5 = 0 \hfill \cr {S_4} = 14 \hfill \cr} \right.\) \(\eqalign{ & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 5{u_1} + 10({u_1} + 4d) = 0 \hfill \cr {{4(2{u_1} + 3d)} \over 2} = 14 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 3{u_1} + 8d = 0 \hfill \cr 2{u_1} + 3d = 7 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1} = 8 \hfill \cr d = - 3 \hfill \cr} \right. \cr} \) Vậy số hạng đầu \(u_1= 8\), công sai \(d = -3\) b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_7} + {u_{15}} = 60 \hfill \cr u_4^2 + u_{12}^2 = 1170 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ ({u_1} + 6d) + ({u_1} + 14d) = 60(1) \hfill \cr {({u_1} + 3d)^2} + {({u_1} + 11d)^2} = 1170(2) \hfill \cr} \right.\) \((1) ⇔ 2u_1+ 20d = 60 ⇔ u_1= 30 – 10d\) thế vào \((2)\) \((2) ⇔[(30 – 10d) + 3d]^2+ [(30 – 10d) + 11d]^2= 1170\) \(⇔ (30 – 7d)^2+ (30 + d)^2= 1170\) \(⇔900 – 420d + 49d^2+ 900 + 60d + d^2= 1170\) \(⇔ 50d^2– 360d + 630 = 0\) \( \Leftrightarrow \left[ \matrix{ d = 3 \Rightarrow {u_1} = 0 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \Rightarrow {u_1} = - 12 \hfill \cr} \right.\) Vậy \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 0 \hfill \cr d = 3 \hfill \cr} \right.\) hay \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 12 \hfill \cr d = {{21} \over 5} \hfill \cr} \right.\) Câu 9 trang 107 SGK Đại số và giải tích 11. Tìm số hạng đầu \(u_1\) và công bội của các cấp số nhân \((u_n)\), biết: a) \(\left\{ \matrix{{u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right.\) b)\(\left\{ \matrix{{u_4} - {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} - {u_3} = 144 \hfill \cr} \right.\) c) \(\left\{ \matrix{{u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right.\) Trả lời: a) \(\left\{ \matrix{ {u_6} = 192 \hfill \cr {u_7} = 384 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^5} = 192(1) \hfill \cr {u_1}.{q^6} = 384(2) \hfill \cr} \right.\) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1): (1) \(⇔ u_1.2^5= 192 ⇔ u_1= 6\) Vậy \(u_1= 6\) và \(q = 2\). b) Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_4} - {u_2} = 72 \hfill \cr {u_5} - {u_3} = 144 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.{q^3} - {u_1}.q = 72 \hfill \cr {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^2} = 144 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q({q^2} - 1) = 72(1) \hfill \cr {u_1}.{q^2}({q^2} - 1) = 144(2) \hfill \cr} \right.\) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1) (1) \(⇔2u_1(4 – 1) = 72 ⇔ u_1= 12\) Vậy \(u_1= 12\) và \(q = 2\) c) Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {u_2} + {u_5} - {u_4} = 10 \hfill \cr {u_3} + {u_6} - {u_5} = 20 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}.q + {u_1}.{q^4} - {u_1}.{q^3} = 10 \hfill \cr {u_1}.{q^2}+u_1.q^5-u_1.q^4 = 20 \hfill \cr} \right. \cr & \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ {u_1}q(1 + {q^3} - {q^2}) = 10(1) \hfill \cr {u_1}q^2(1 + {q^3} - {q^2}) = 20(2) \hfill \cr} \right. \cr} \) Lấy (2) chia (1) theo vế với vế ta được: \(q = 2\) thế vào (1) (1) \(⇔ 2u_1(1 + 8 – 4) = 10 ⇔ u_1= 1\) Vậy \(u_1= 1\) và \(q = 2\). Câu 10 trang 108 SGK Đại số và giải tích 11. Tứ giác \(ABCD\) có số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự \(A, B, C, D\). Biết rằng góc \(C\) gấp năm lần góc \(A\). Tính các góc của tứ giác. Trả lời: Theo giả thiết ta có: \(A, B, C, D\) là một cấp số cộng và \(\widehat C = 5\widehat A\) Giả sử cấp số cộng tạo thành có công sai là: \(d\). Theo tính chất của cấp số cộng ta có: \(\widehat B=\widehat A+d\), \(\widehat C=\widehat A+2d\), \(\widehat D=\widehat A+3d\) Suy ra: \(\widehat A+2d= 5\widehat A\Leftrightarrow 4\widehat A-2d=0\) (1) Mà: \(\widehat A+\widehat B+ \widehat C+\widehat D=360^0\) \(\Leftrightarrow 4\widehat A +6d=360^0\) (2) Lấy (2)-(1) ta được: \(8d=360^0\Rightarrow d=45^0\) Vậy \(\eqalign{ & \widehat A = {22^0}30' \cr & \widehat B = {67^0}30' \cr & \widehat C = {112^0}30' \cr & \widehat D = {157^0}30' \cr} \). Câu 11 trang 108 SGK Đại số và giải tích 11. Biết rằng ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân và ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng. Tìm công bội của cấp số nhân. Trả lời: Ba số \(x, y, z\) lập thành một cấp số nhân nên: \(y = x.q\) và \(z = y.q = x.q^2\) ( \(q\) là công bội) Ba số \(x, 2y, 3z\) lập thành một cấp số cộng nên: \(x + 3z = 4y ⇔ x + 3.(xq^2) = 4.(xq)\) \(⇔ x. (1 + 3q^2– 4q) = 0 ⇔ x = 0\) hay \(3q^2– 4q + 1 = 0\) Nếu \(x = 0\) thì \(x = y= z= 0\), \(q\) là một số tùy ý Nếu \(x ≠ 0\) thì \(3q^2- 4q + 1 = 0\) \( ⇔\left[ \matrix{ q = 1 \hfill \cr q = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.\) Câu 12 trang 108 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Người ta thiết kế một tháp gồm 11 tầng. Diện tích bề mặt trên của mỗi tầng bằng nửa diện tích mặt trên của tầng ngay bên dưới và diện tích bề mặt trên của tầng 1 bằng nửa diện tích đế tháp. Biết diện tích mặt đế tháp là \(12 288\) \(m^2\). Tính diện tích mặt trên cùng. Trả lời: Theo đề bài, diện tích các mặt lập thành một cấp số nhân có số hạng đầu: \(u_1= 12 288\) \(m^2\) và công bội \(q = {1 \over 2}\) Vậy diện tích mặt trên cùng là: \({u_{12}} = {u_1}.{q^{11}} = 12288.{({1 \over 2})^{11}} = 6{m^2}\) Câu 13 trang 108 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Chứng minh rằng nếu các số \({a^2},{b^2},{c^2}\) lập thành một cấp số cộng \((abc ≠ 0)\) thì các số \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) cũng lập thành một cấp số cộng. Trả lời: Ta phải chứng minh: \({1 \over {b + c}} + {1 \over {a + b}} = {2 \over {c + a}}\) (1) Biến đổi: \(\eqalign{ & (1) \Leftrightarrow {1 \over {b + c}} - {1 \over {c + a}} = {1 \over {c + a}} - {1 \over {a + b}} \cr & \Leftrightarrow {{c + a - b - c} \over {(c + a)(b + c)}} = {{a + b - c - a} \over {(c + a)(a + b)}} \cr & \Leftrightarrow {{a - b} \over {b + c}} = {{b - c} \over {a + b}}\Leftrightarrow {a^2} - {b^2} = {b^2} - {c^2}\cr} \) Vậy (1) đúng vì \(a^2,b^2,c^2\) lập thành cấp số cộng. Vậy \({1 \over {b + c}},{1 \over {c + a}};{1 \over {a + b}}\) là cấp số cộng. Câu 14 trang 108 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Cho dãy số \((u_n)\), biết \(u_n= 3^n\). Hãy chọn phương án đúng: a) Số hạng \(u_{n+1}\)bằng: A. \(3^n+1\) B. \(3^n+ 3\) C. \(3^n.3\) D. \(3(n+1)\) b) Số hạng \(u_{2n}\) bằng: A. \(2.3^n\) B. \(9^n\) C. \(3^n+ 3\) D. \(6n\) c) Số hạng \(u_{n-1}\)bằng : A. \(3^n-1\) B. \({1\over 3}.3^n\) C. \(3^n– 3\) D. \(3n – 1\) d) Số hạng \(u_{2n-1}\) bằng: A. \(3^2.3^n-1\) B. \(3^n.3^{n-1}\) C. \(3^{2n}- 1\) D. \(3^{2(n-1)}\) Trả lời: a) Ta có: \({u_{n + 1}} = {\rm{ }}{3^{n + 1}} = {\rm{ }}{3^n}.3\) Vậy chọn C. b) Ta có: \({u_{2n}} = {\rm{ }}{3^{2n}} = {\rm{ }}{({3^2})^n} = {\rm{ }}{9^n}\), Vậy chọn B c) Ta có: \({u_{n - 1}} = {3^{n - 1}} = {3^n}{.3^{ - 1}} = {{{3^n}} \over 3}\) Vậy chọn B d) Ta có: \({u_{2n - 1}} = {\rm{ }}{3^{2n - 1}}=3^n.3^{n-1}\) Vậy chọn B Câu 15 trang 108 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Hãy cho biết dãy số \((u_n)\) nào dưới đây là dãy số tăng, nếu biết công thức số hạng tổng quát \(u_n\) của nó là: A. \({( - 1)^{n + 1}}.\sin {\pi \over n}\) B. \({( - 1)^{2n}}({5^n} + 1)\) C. \({1 \over {\sqrt {n + 1} + n}}\) D. \({n \over {{n^2} + 1}}\) Trả lời: Xét từng phương án ta có: _ Phương án A không được vì dãy số có chứa nhân tử \({\left( { - 1} \right)^{n + 1}}\) nên các số hạng sẽ đan dấu, do đó, \(u_n\) không thể là dãy số tăng. _ Phương án C: \(\eqalign{ & {u_3} = {1 \over {\sqrt {3 + 1} + 1}} = {1 \over 3} \cr & {u_8} = {1 \over {\sqrt {8 + 1} + 1}} = {1 \over 4} \cr} \) \(⇒ u_8 < u_3 ⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại đáp án C _ Phương án D: \({u_1} = {1 \over 2},{u_2} = {2 \over 5}\) \(⇒ u_2< u_1⇒ u_n\) không là dãy số tăng \(⇒\) loại phương án D Vậy chọn phương án B Thật vậy: \({u_n} = {\rm{ }}{\left( { - 1} \right)^{2n}}.({5^n} + {\rm{ }}1){\rm{ }} = {\rm{ }}{5^n} + 1\) (vì \(2n\) chẵn nên \({\left( { - 1} \right)^{2n}} = {\rm{ }}1\)) Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} =({5^{n + 1}} + 1)-({5^n} +1) = {5^{n + 1}}-{5^n}\) \(= 5^n. (5 – 1) = 4. 5^n> 0, ∀ n ∈ {\mathbb N}^*\) Suy ra: \(u_n\) là dãy số tăng Vậy chọn B Câu 16 trang 109 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Cho cấp số cộng \(-2, x, 6, y\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: A. \(x = -6, y = -2\) B. \(x = 1, y = 7\) C. \(x = 2, y = 8\) D. \(x = 2, y = 10\) Trả lời: Theo giả thiết: \(-2, x, 6, y\) là cấp số cộng \( \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ 2x = ( - 2) + 6 \hfill \cr 2.6 = x + y \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x = 2 \hfill \cr y = 10 \hfill \cr} \right.\) Vậy chọn D Câu 17 trang 109 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Cho cấp số nhân \(-4, x, -9\). Hãy chọn kết quả đúng trong các kết quả sau: \(A. x = 36\) \(B. x = -6,5\) \(C. x = 6\) \(D. x -36\) Trả lời: Ta có: \(-4, x, -9\) là ba số hạng của một cấp số nhân nên: \(x^2= (-4). (-9) = 36 ⇔ x = 6\) Vậy chọn C Câu 18 trang 109 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Cho cấp số cộng \((u_n)\). Hãy chọn hệ thức đúng trong các hệ thức sau: A. \({{{u_{10}} + {u_{20}}} \over 2} = {u_5} + {u_{10}}\) B. \({u_{90}} + {\rm{ }}{u_{210}} = {\rm{ }}2{u_{150}}\) C. \({u_{10}}{u_{30}} = {\rm5{ }}{u_{20}}\) D. \({{{u_{10}}.{u_{30}}} \over 2} = {u_{20}}\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & \left\{ \matrix{ {u_{90}} = {u_1} + 89d \hfill \cr {u_{210}} = {u_1} + 209d \hfill \cr} \right. \Rightarrow {u_{90}} + {u_{210}} = 2{u_1} + 298d \cr & \Rightarrow {{{u_{90}} + {u_{210}}} \over 2} = {u_1} + 149d = {u_{150}} \cr} \) Vậy chọn B Câu 19 trang 109 SGK SGK Đại số và giải tích 11. Trong các dãy số cho bởi công thức truy hồi sau, hãy chọn dãy số là cấp số nhân: A. \(\left\{ \matrix{ {u_1} = 2 \hfill \cr {u_{n + 1}} = u_n^2 \hfill \cr} \right.\) B. \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \cr} \right.\) C. \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 3 \hfill \cr {u_{n + 1}} = {u_n} + 1 \hfill \cr} \right.\) D. \(7,{\rm{ }}77,{\rm{ }}777,....\underbrace {777..77}_n\) Trả lời: Ta có: \(\left\{ \matrix{ {u_1} = - 1 \hfill \cr {u_{n + 1}} = 3{u_n} \hfill \cr} \right. \Rightarrow \left\{ \matrix{ {u_n} \ne 0 \hfill \cr {{{u_{n + 1}}} \over {{u_n}}} = 3 \hfill \cr} \right.\) Dãy \((u_n)\) là cấp số nhân công bội \(q = 3\). Vậy chọn B.
