Bài 1 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tìm số gia của hàm số \(f(x) = x^3\), biết rằng : a) \(x_0 = 1; ∆x = 1\) b) \(x_0= 1; ∆x = -0,1\) Lời Giải: a) \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0) = f(2) - f(1) = 2^3-1^3= 7\). b) \(∆y = f(x_0+∆x) - f(x_0) = f(0,9) - f(1)\) = \( \left ( \frac{9}{10} \right )^{3} - 1^3=\) \( \frac{729}{1000} - 1 = -0,271\). Bài 2 trang 156 SGK Đại số và Giải tích 11. Tính \(∆y\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}}\) của các hàm số sau theo \(x\) và \(∆x\) : a) \(y = 2x - 5\); b) \(y = x^2- 1\); c) \(y = 2x^3\); d) \(y = {1 \over x}\). Trả lời: a) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x+∆x) - 5 - (2x - 5) = 2∆x\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x} \over {\Delta x}} = 2\). b) \(\Delta y = f(\Delta x + x) - f(x) = {(x + \Delta x)^2} - 1 - ({x^2} - 1)\) \(= 2x.\Delta x + {(\Delta x)^2} = \Delta x(2x + \Delta x)\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{\Delta x\left( {2{\rm{x}} + \Delta x} \right)} \over {\Delta x}} = 2{\rm{x + }}\Delta {\rm{x}}\) c) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) = 2(x + ∆x)^3- 2x^3\)= \(6{x^2}\Delta x + 6x{(\Delta x)^2} + 2{(\Delta x)^3} = 2\Delta x.(3{x^2} + 3x\Delta x + {(\Delta x)^2})\) và \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{2\Delta x\left[ {3{{\rm{x}}^2} - 3{\rm{x}}\Delta x + \Delta {x^2}} \right]} \over {\Delta x}}\) \(= 6x^2+ 6x∆x + 2(∆x)^2\). d) \(∆y = f(x+∆x) - f(x) =\)\(-{1 \over x} + {1 \over {x +\Delta x}} = {{x - \Delta x - x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}} = - {{\Delta x} \over {x\left( {x + \Delta x} \right)}}\) \({{\Delta y} \over {\Delta x}} = {1 \over {\left( {x + \Delta x} \right)x}}\) Bài 3 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của mỗi hàm số sau tại các điểm đã chỉ ra: a) \(y = x^2+ x\) tại \(x_0= 1\); b) \(y = \frac{1}{x}\) tại \(x_0= 2\); c) \(y = \frac{x+1}{x-1}\) tại \(x_0 = 0\). Giải: a) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0 = 1\). Ta có: \(∆y = f(1 + ∆x) - f(1) = (1 + ∆x)^2+ (1 + ∆x) - (1^2+ 1)\) \(= 3∆x + (∆x)^2\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x} = 3 + ∆x\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} (3 + \Delta x) = 3\) Vậy \(f'(1) = 3\). b) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 2\). Ta có: \(∆y = f(2 + ∆x) - f(2) = \frac{1}{2+\Delta x} - \frac{1}{2} = - \frac{\Delta x}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = - \( \frac{1}{2\left ( 2+\Delta x \right )}\); \(\mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} {{\Delta y} \over {\Delta x}} = \mathop {\lim }\limits_{\Delta x \to 0} \left( { - {1 \over {2.(2 + \Delta x)}}} \right) = - {1 \over 4}\) Vậy \(f'(2) = - \frac{1}{4}\). c) Giả sử \(∆x\) là số gia của số đối tại \(x_0= 0\).Ta có: \(∆y = f(∆x) - f(0) = \frac{\Delta x+1}{\Delta x-1}- ( -1) = \frac{2\Delta x}{\Delta x-1}\); \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \frac{2}{\Delta x-1}\) ; \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\Delta y}{\Delta x}\) = \( \mathop {\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{2}{\Delta x-1} = -2\). Vậy \(f'(0) = -2\). Bài 4 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Chứng minh rằng hàm số \(f(x) = \left\{ \matrix{ {(x - 1)^2}\text{ nếu }x \ge 0 \hfill \cr - {x^2}\text { nếu } x < 0 \hfill \cr} \right.\) không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\) nhưng có đạo hàm tại điểm \(x = 2\). Giải: Ta có \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} f(x) = \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}} (x – 1)^2= 1\) và \( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} f(x) = \)\(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}} (-x^2) = 0\). vì \(\mathop{ \lim}\limits_{x\rightarrow 0^{+}}f(x) ≠ \)\( \mathop{\lim}\limits_{x\rightarrow 0^{-}}\) nên hàm số \(y = f(x)\) gián đoạn tại \(x = 0\), do đó hàm số không có đạo hàm tại điểm \(x = 0\). Ta có \(\mathop{ \lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{f\left ( 2+\Delta x \right )-f\left ( 2 \right )}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0}\) \( \frac{\left ( 1+\Delta x \right )^{2}-1^{2}}{\Delta x}\) = \( \mathop{\lim}\limits_{\Delta x\rightarrow 0} (2 + ∆x) = 2\). Vậy hàm số \(y = f(x)\) có đạo hàm tại \(x = 2\) và \(f'(2) = 2\). Bài 5 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đường cong \(y = x^3\): a) Tại điểm có tọa độ \((-1;-1)\); b) Tại điểm có hoành độ bằng \(2\); c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\). Giải: Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = 3x^2\). a) \(y' (-1) = 3\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(3\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm \((-1;-1)\) là \(y - (-1) = 3[x - (-1)]\) hay \(y = 3x+2\). b) \(y' (2) = 12\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(12\). Ngoài ra ta có \(y(2) = 8\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có hoành độ bằng \(2\) là: \( y - 8 = 12(x - 2)\) hay \(y = 12x -16\). c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có: \(y' (x_0) = 3 \Leftrightarrow 3{x_0}^2= 3\Leftrightarrow {x_0}^2= 1\Leftrightarrow x_0= ±1\). +) Với \(x_0= 1\) ta có \(y(1) = 1\), phương trình tiếp tuyến là \( y - 1 = 3(x - 1)\) hay \(y = 3x - 2\). +) Với \(x_0= -1\) ta có \(y(-1) = -1\), phương trình tiếp tuyến là \(y - (-1) = 3[x - (-1)]\) hay \(y = 3x + 2\). Bài 6 trang 156 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến của đường hypebol \(y = \frac{1}{x}\): a) Tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\) b) Tại điểm có hoành độ bằng \(-1\); c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bằng -\( \frac{1}{4}\). Giải: Bằng định nghĩa ta tính được \(y' = - \frac{1}{x^{2}}\). a) \(y' \left ( \frac{1}{2} \right )= -4\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-4\). Vậy phương trình tiếp tuyến của hypebol tại điểm \(( \frac{1}{2} ; 2)\) là \(y - 2 = -4(x - \frac{1}{2})\) hay \(y = -4x + 4\). b) \(y' (-1) = -1\). Do đó hệ số góc của tiếp tuyến bằng \(-1\). Ngoài ra, ta có \(y(-1) = -1\). Vậy phương trình tiếp tuyến tại điểm có tọa độ là \(-1\) là \(y - (-1) = -[x - (-1)]\) hay \(y = -x - 2\). c) Gọi \(x_0\) là hoành độ tiếp điểm. Ta có \(y' (x_0) = - \frac{1}{4} \Leftrightarrow - \frac{1}{x_{0}^{2}} = - \frac{1}{4}\)\(\Leftrightarrow x_{0}^{2} = 4 \Leftrightarrow x_{0}= ±2\). Với \(x_{0}= 2\) ta có \(y(2) = \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y - \frac{1}{2} = - \frac{1}{4}(x - 2)\) hay \(y = \frac{1}{4}x + 1\). Với \(x_{0} = -2\) ta có \(y (-2) = - \frac{1}{2}\), phương trình tiếp tuyến là \(y - \left ( -\frac{1}{2} \right ) = - \frac{1}{4}[x - (-2)]\) hay \(y = - \frac{1}{4}x -1\) Bài 7 trang 157 sách giáo khoa Đại số và Giải tích 11. Một vật rơi tự do theo phương trình \(s = {1 \over 2}g{t^2}\), trong đó \(g ≈ 9,8\) m/s2 là gia tốc trọng trường. a) Tìm vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ t (t = 5s) đến \(t + ∆t\), trong các trường hợp \(∆t = 0,1s; ∆t = 0,05s; ∆t = 0,001s\). b) Tìm vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\). Giải: a) Vận tốc trung bình của chuyển động trong khoảng thời gian từ \(t\) đến \(t + ∆t\) là \(V_{tb}= \frac{s\left ( t+\Delta t \right )-s\left ( t \right )}{\Delta t}= \frac{\frac{1}{2}g\cdot \left ( t+\Delta t \right )^{2}-\frac{1}{2}g\cdot t^{2}}{\Delta t} ={1 \over 2}g(2t + \Delta t) \approx 4,9.(2t + \Delta t)\) Với \( t=5\) và +) \(∆t = 0,1\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,1) ≈ 49,49 m/s\); +) \(∆t = 0,05\) thì \(v_{tb}≈ 4,9. (10 + 0,05) ≈ 49,245 m/s\); +) \(∆t = 0,001\) thì \(v_{tb} ≈ 4,9. (10 + 0,001) ≈ 49,005 m/s\). b) Vận tốc tức thời của chuyển động tại thời điểm \(t = 5s\) tương ứng với \(∆t = 0\) nên \(v ≈ 4,9 . 10 = 49 m/s\).
