Câu 1 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) \(y = {{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + x - 5\) b) \(y = {2 \over x} - {4 \over {{x^2}}} + {5 \over {{x^3}}} - {6 \over {7{x^4}}}\) c) \(y = {{3{x^2} - 6x + 7} \over {4x}}\) d) \(y = ({2 \over x} + 3x)(\sqrt x - 1)\) e) \(y = {{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }}\) f) \(y = {{ - {x^2} + 7x + 5} \over {{x^2} - 3x}}\) Trả lời: a) \(\eqalign{ y' &= \left ({{{x^3}} \over 3} - {{{x^2}} \over 2} + x - 5\right )' \cr & = {x^2} - x + 1 \cr} \) b) Ta có: \(y = 2{x^{ - 1}} - 4{x^{-2}} + 5{x^{ - 3}} - {6 \over 7}{x^{-4}}\) \(\eqalign{ \Rightarrow y'& = - 2{x^{ - 2}} + 8{x^{ - 3}} - 15{x^{ - 4}} + {{24} \over 7}{x^{ - 5}} \cr & = {{ - 2} \over {{x^2}}} + {8 \over {{x^3}}} - {{15} \over {{x^4}}} + {{24} \over {7{x^5}}} \cr} \) c) \(\eqalign{ & y' = \left({{3{x^2} - 6x + 7} \over {4x}}\right)' = {{(3{x^2} - 6x + 7)'4x - (4x)'(3{x^2} - 6x + 7)} \over {16{x^2}}} \cr & = {{(6x - 6)4x - 4(3{x^2} - 6x + 7)} \over {16{x^2}}} = {{3{x^2} - 7} \over {4{x^2}}} \cr} \) d) \(y' = \left[ {({2 \over x} + 3x)(\sqrt x - 1)} \right]'\) \(\eqalign{ & = ( - {2 \over {{x^2}}} + 3)(\sqrt x - 1) + {1 \over {2\sqrt x }}.({2 \over x} + 3x) \cr & = - {{2\sqrt x } \over {{x^2}}} + {2 \over {{x^2}}} + 3\sqrt x - 3 + {1 \over {x\sqrt x }} + {{3x} \over {2\sqrt x }} \cr & = - {{2\sqrt x } \over {{x^2}}} + {2 \over {{x^2}}} + 3\sqrt x - 3 + {{\sqrt x } \over {{x^2}}} + {{3\sqrt x } \over 2} = {{9{x^2}\sqrt x - 6{x^2} - 2\sqrt x + 4} \over {2{x^2}}} \cr} \) e) \(\eqalign{ & y' = ({{1 + \sqrt x } \over {1 - \sqrt x }})' = {{{1 \over {2\sqrt x }}(1 - \sqrt x ) + {1 \over {2\sqrt x }}(1 + \sqrt x )} \over {{{(1 - \sqrt x )}^2}}} \cr & = {{1 - \sqrt x + 1 + \sqrt x } \over {2\sqrt x {{(1 - \sqrt x )}^2}}} = {1 \over {\sqrt x {{(1 - \sqrt x )}^2}}} \cr} \) f) \(\eqalign{ & y' = ({{ - {x^2} + 7x + 5} \over {{x^2} - 3x}})' = {{( - 2x + 7)({x^2} - 3x) - (2x - 3)( - {x^2} + 7x + 5)} \over {{{({x^2} - 3x)}^2}}} \cr & = {{ - 4{x^2} - 10x + 15} \over {{{({x^2} - 3x)}^2}}} \cr} \) Câu 2 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Tính đạo hàm của các hàm số sau a) \(y = 2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}\) b) \(y = {{3\cos x} \over {2x + 1}}\) c) \(y = {{{t^2} + 2\cot t} \over {\sin t}}\) d) \(y = {{2\cos \varphi - \sin \varphi } \over {3\sin \varphi + \cos \varphi }}\) e) \(y = {{\tan x} \over {\sin x + 2}}\) f) \(y = {{\cot x} \over {2\sqrt x - 1}}\) Trả lời: a) \(y' =\left (2\sqrt x {\mathop{\rm sinx}\nolimits} - {{\cos x} \over x}\right)'\) \(\eqalign{ & = 2{1 \over {2\sqrt x }}\sin x + 2\sqrt x\cos x - {{ - x\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \cr & = {{x\sqrt x \sin x + 2{x^2}\sqrt x\cos x + x\sin x + \cos x} \over {{x^2}}} \cr & = {{x(\sqrt x + 1)\sin x + (2{x^2}\sqrt x + 1)cosx} \over {{x^2}}} \cr} \) b) \(\eqalign{ & y' =\left ({{3\cos x} \over {2x + 1}}\right)' = {{ - 3(2x + 1)\sin x - 2.3\cos x} \over {{{(2x + 1)}^2}}} \cr & = {{ - 3(2x + 1)\sin x - 6\cos x} \over {{{(2x + 1)}^2}}} \cr} \) c) \(\eqalign{ & y' = \left ({{{t^2} + 2\cot t} \over {\sin t}}\right )' = {{(2t - 2\sin t)\sin t - \cos t({t^2} + 2\cos t)} \over {{{\sin }^2}t}} \cr & = {{2t\sin t - 2{{\sin }^2}t - {t^2}\cos t - 2{{\cos }^2}t} \over {{{\sin }^2}t}} \cr & = {{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2({{\sin }^2}t + {{\cos }^2}t)} \over {{{\sin }^2}t}} = {{2t\sin t - {t^2}\cos t - 2} \over {{{\sin }^2}t}} \cr} \) d) \(\eqalign{ & y' = \left({{2\cos \varphi - \sin \varphi } \over {3\sin \varphi + \cos \varphi }}\right)' \cr & = {{( - 2sin\varphi - \cos \varphi )(3sin\varphi + \cos \varphi ) - (3\cos \varphi - \sin \varphi )(2\cos \varphi - \sin \varphi )} \over {{{(3\sin \varphi + \cos \varphi )}^2}}} \cr & = {{ - 7} \over {{{(3\sin \varphi + \cos \varphi )}^2}}} \cr} \) e) \(\eqalign{ & y' = \left({{\tan x} \over {\sin x + 2}}\right)' = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}(\sin x + 2) - \cos x\tan x} \over {{{(\sin x + 2)}^2}}} = {{{1 \over {{{\cos }^2}x}}(\sin x + 2) - \sin x} \over {{{(\sin x + 2)}^2}}} \cr & = {{\sin x + 2 - \sin x{{\cos }^2}x} \over {{{\cos }^2}x{{(\sin x + 2)}^2}}} = {{\sin x(1 - {{\cos }^2}x) + 2} \over {{{\cos }^2}x{{(\sin x + 2)}^2}}} = {{{{\sin }^3}x + 2} \over {{{\cos }^2}x{{(\sin x + 2)}^2}}} \cr} \) f) \(\eqalign{ & y' = \left({{\cot x} \over {2\sqrt x - 1}}\right)' = {{(\cot x)'(2\sqrt x - 1) - \cot x(2\sqrt x - 1)'} \over {{{(2\sqrt x - 1)}^2}}} = {{{{ - 1} \over {{{\sin }^2}x}}(2\sqrt x - 1) - \cot x.{1 \over {\sqrt x }}} \over {{{(2\sqrt x - 1)}^2}}} \cr & = {{{{1 - 2\sqrt x } \over {{{\sin }^2}x}} - {{\cot x} \over {\sqrt x }}} \over {{{(2\sqrt x - 1)}^2}}} \cr} \) Câu 3 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Cho hàm số \(f(x) = \sqrt {1 + x} \) . Tính \(f(3)+(x-3)f’(3)\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & f(3) = \sqrt {1 + 3} = 2 \cr & f'(x) = {1 \over {2\sqrt {1 + x} }} \Rightarrow f'(3) = {1 \over {2\sqrt {1 + 3} }} = {1 \over 4} \cr} \) Suy ra: \(f(3) + (x - 3)f'(3) = 2 + {{x - 3} \over 4} = {{5 + x} \over 4}\). Câu 4 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Cho hai hàm số \(f(x) = \tan x\) và \(g(x) = {1 \over {1 - x}}\) . Tính \({{f'(0)} \over {g'(0)}}\) Trả lời: \(\eqalign{ & f'(x) = {1 \over {{{\cos }^2}x}} \Rightarrow f'(0) = {1 \over {{{\cos }^2}0}} = 1 \cr & g'(0) = - {{(1 - x)'} \over {{{(1 - x)}^2}}} = {1 \over {{{(1 - x)}^2}}} \Rightarrow g'(0) = {1 \over {{{(1 - 0)}^2}}} = 1 \cr & \Rightarrow {{f'(0)} \over {g'(0)}} = 1 \cr}\) Câu 5 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Giải phương trình \(f’(x) = 0\), biết rằng: \(f(x) = 3x + {{60} \over x} -{ 64\over{x^{ 3}}} + 5\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & f(x) = 3x + {{60} \over x} - 64.{x^{ - 3}} + 5 \cr & \Rightarrow f'(x) = 3 - {{60} \over {{x^2}}} + 192{x^{ - 4}} = 3 - {{60} \over {{x^2}}} + {{192} \over {{x^4}}} = {{3{x^4} - 60{x^2} + 192} \over {{x^4}}} \cr} \) Vậy: \(\eqalign{ & f'(x) = 0 \Leftrightarrow 3{x^4} - 60{x^2} + 192 = 0(x \ne 0) \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ {x^2} = 16 \hfill \cr {x^2} = 4 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow \left[ \matrix{ x = \pm 4 \hfill \cr x = \pm 2 \hfill \cr} \right.\text{ thỏa mãn } \cr}\) Câu 6 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Cho \({f_1}\left( x \right) = {{\cos x} \over x};{f_2}\left( x \right) = x\sin x\) Tính \({{{f_1}'(1)} \over {{f_2}'(1)}}\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & {f_1}'(x) = {{ - x.\sin x - \cos x} \over {{x^2}}} \Rightarrow {f_1}'(1) = - \sin 1 - \cos 1 = - (\sin 1 + \cos 1) \cr & {f_2}'(x) = \sin x + x.cosx \Rightarrow {f_2}'(1) = \sin 1 + \cos 1 \cr & \Rightarrow {{{f_1}'(1)} \over {{f_2}'(1)}} = - 1 \cr} \) Câu 7 trang 176 SGK Đại số và giải tích 11. Viết phương trình tiếp tuyến: a) Của hypebol \(y = {{x + 1} \over {x - 1}}\) tại \(A (2, 3)\) b) Của đường cong \(y = x^3+ 4x^2– 1\) tại điểm có hoành độ \(x_0= -1\) c) Của parabol \(y = x^2– 4x + 4\) tại điểm có tung độ \(y_0= 1\) Trả lời: a) Ta có: \(y' = f'(x) = {{ - 2} \over {{{(x - 1)}^2}}} \Rightarrow f'(2) = {{ - 2} \over {{{(2 - 1)}^2}}} = - 2\) Suy ra phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y – 3 = -2(x – 2) ⇔ y = -2x + 7\) b) Ta có: \(y’ = f’(x) = 3x^2+ 8x ⇒ f’(-1) = 3 – 8 = -5\) Mặt khác: \(x_0= -1 ⇒ y_0= -1 + 4 – 1 = 2\) Vậy phương trình tiếp tuyến cần tìm là: \(y – 2 = -5 (x + 1) ⇔ y = -5x – 3\) c) Ta có: \(y_0= 1 ⇒ 1 = x_0^2- 4x_0+ 4 ⇒ x_0^2– 4x_0+ 3 = 0\) \(⇒ x_0= 1\) hoặc \(x_0= 3\) \(f’(x) = 2x – 4 ⇒ f’(1) = -2\) và \(f’(3) = 2\) Vậy có hai tiếp tuyến cần tìm có phương trình là: \(y – 1 = -2 (x – 1) ⇔ y = -2x + 3\) \(y – 1 = 2 (x – 3) ⇔ y = 2x – 5\) Câu 8 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Cho chuyển động thẳng xác định bởi phương trình \(S = t^3- 3t^2– 9t\), trong đó \(t\) được tính bằng giây và \(S\) được tính bằng mét. a) Tính vận tốc của chuyển động khi \(t = 2s\) b) Tính gia tốc của chuyển động khi \(t = 3s\) c) Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc triệt tiêu d) Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bị triệt tiêu. Trả lời: a) Vận tốc của chuyển động khi \(t = 2\) (s). Ta có: \(v = {{ds} \over {dt}} = S' = 3{t^2} - 6t - 9\) Khi \(t = 2(s) ⇒ 3.2^2– 6.2 – 9 = -9 m/s\). b) Gia tốc của chuyển động khi \(t = 3(s)\). Ta có: \(a = {{dv} \over {dt}} = v' = 6t - 6\) Ở \(t = 3(s) ⇒ a = 6.3 – 6 = 12 m/s^2\) c) Ta có: \(v = 3t^2– 6t – 9\) Tại thời điểm vận tốc triệt tiêu: \(\eqalign{ & v = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow {t^2} - 2t - 3 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ \matrix{ t = - 1(l) \hfill \cr t = 3(s) \hfill \cr} \right. \cr} \) d) Gia tốc: \(a = 6t – 6\) Khi \(a = 0 ⇔ 6t – 6= 0 ⇔ t = 1(s)\) Lại có: \(v = 3t^2– 6t – 9\) Khi \(t = 1(s) ⇒ v = 3.1^2– 6.1 – 9 = -12 m/s\) Câu 9 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Cho hai hàm số: \(y = {1 \over {x\sqrt 2 }};y = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }}\) . Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị của mỗi hàm số đã cho tại giao điểm của chúng. Tính góc giữa hai tiếp tuyến kể trên. Trả lời: _ \({C_1}:y = f(x) = {1 \over {x\sqrt 2 }} \Rightarrow f'(x) = - {1 \over {{x^2}\sqrt 2 }}\) _ \({C_2}:y = g(x) = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Rightarrow g'(x) = {{2x} \over {\sqrt 2 }} = x\sqrt 2 \) _ Phương trình hoành độ giao điểm của (C1) và (C2) là: \({1 \over {x\sqrt 2 }} = {{{x^2}} \over {\sqrt 2 }} \Leftrightarrow \left\{ \matrix{ x \ne 0 \hfill \cr {x^3} = 1 \hfill \cr} \right. \Leftrightarrow x = 1 \Rightarrow y = {1 \over {\sqrt 2 }} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) Vậy giao điểm của (C1) và (C2) là \(A(1,{{\sqrt 2 } \over 2})\) _ Phương trình tiếp tuyến của (C1) tại điểm A là: \(\eqalign{ & y - {{\sqrt 2 } \over 2} = f'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = - {1 \over {\sqrt 2 }}(x - 1) \cr & \Leftrightarrow y = - {x \over {\sqrt 2 }} + \sqrt 2 \cr} \) Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_1= {{ - 1} \over {\sqrt 2 }}\) _ Phương trình tiếp tuyến của (C2) tại điểm \(A\) là: \(\eqalign{ & y - {{\sqrt 2 } \over 2} = g'(1)(x - 1) \Leftrightarrow y - {{\sqrt 2 } \over 2} = \sqrt 2 (x - 1) \cr & \Leftrightarrow y = x\sqrt 2 - {{\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) Tiếp tuyến này có hệ số góc \(k_2= \sqrt 2\) _ Ta có: \({k_1}.{k_2} = ( - {1 \over {\sqrt 2 }})(\sqrt 2 ) = - 1\) ⇒ Hai tiếp tuyến nói trên vuông góc với nhau ⇒ góc giữa hai tiếp tuyến bằng \(90^0\). Câu 10 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Với \(g(x) = {{{x^2} - 2x + 5} \over {x - 1}}\); \(g’(2)\) bằng: A. \(1\) B. \(-3\) C. \(-5\) D. \(0\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & g'(x) = {{({x^2} - 2x + 5)'(x - 1) - ({x^2} - 2x + 5)(x - 1)'} \over {{{(x - 1)}^2}}} = {{{x^2} - 2x - 3} \over {{{(x - 1)}^2}}} \cr & g'(2) = {{4 - 4 - 3} \over {{{(2 - 1)}^2}}} = - 3 \cr} \) Vậy chọn B Câu 11 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Nếu \(f(x) = sin^3 x+ x^2\) thì \(f''({{ - \pi } \over 2})\) bằng: A. \(0\) B. \(1\) C. \(-2\) D. \(5\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & f'(x) = 3{\sin ^2}x\cos x + 2x \cr & \Rightarrow f''(x) = 3\left[ {2\sin x.cosx.cosx + si{n^2}x.( - \sin x)} \right] + 2 \cr & = 3(2\sin x.co{s^2}x - {\sin ^3}x) + 2 \cr & \Rightarrow f'({{ - \pi } \over 2}) = 3\left[ {2\sin ( - {\pi \over 2}).co{s^2}({-\pi \over 2}) - {{\sin }^3}( - {\pi \over 2})} \right] + 2 \cr & = 3.1+2=5 \cr} \) Vậy chọn D Câu 12 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Giả sử \(h(x) = 5 (x + 1)^3+ 4(x + 1)\) Tập nghiệm của phương trình \(h’’(x) = 0\) là: A. \([-1, 2]\) B. \((-∞, 0]\) C. \({\rm{\{ }} - 1\} \) D. \(Ø\) Trả lời: Ta có: \(h’(x) = 15 (x + 1)^2+ 4 \) \(⇒ h’’(x) = 30(x + 1)\) Vậy \(h’’(x) = 0 ⇔ x + 1 = 0 ⇔ x = -1\) Vậy chọn C Câu 13 trang 177 SGK Đại số và giải tích 11. Cho \(f(x) = {{{x^3}} \over 3} + {{{x^2}} \over 2} + x\) Tập nghiệm của bất phương trình \(f’(x) ≤ 0\) A. \(Ø\) B. \((0, +∞)\) C. \([-2, 2]\) D. \((-∞, +∞)\) Trả lời: Ta có: \(\eqalign{ & f'(x) = {x^2} + x + 1 \cr & f'(x) = {x^2} + x + 1 \le 0 \Leftrightarrow {(x + {1 \over 2})^2} + {3 \over 4} \le 0(*) \cr} \) Bất phương trình (*) vô nghiệm và vế trái dương \(∀ x ∈\mathbb R\). Vậy chọn A.
