Câu 17 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) trong khai triển \({\left( {2x - 3y} \right)^{200}}\) Giải: Ta có: \({\left( {2x - 3y} \right)^{200}} = \sum\limits_{k = 0}^{200} {C_{200}^k{{\left( {2x} \right)}^{200 - k}}{{\left( { - 3y} \right)}^k}} \) Số hạng chứa \({x^{101}}{y^{99}}\) ứng với \(k = 99\), đó là : \(C_{200}^{99}.{\left( {2x} \right)^{101}}{\left( { - 3y} \right)^{99}}\) Vậy hệ số của \({x^{101}}{y^{99}}\) là \(C_{200}^{99}.{\left( {2} \right)^{101}}{\left( { - 3} \right)^{99}}\) Câu 18 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính hệ số của \({x^5}{y^8}\) trong khai triển \({\left( {x + y} \right)^{13}}\) Giải: Ta có: \({\left( {x + y} \right)^{13}} = \sum\limits_{k = 0}^{13} {C_{13}^k{x^{13 - k}}{y^k}} \) Số hạng chứa \({x^5}{y^8}\) ứng với \(k = 8\) đó là \(C_{13}^8{x^5}{y^8}.\) Vậy hệ số của \({x^5}{y^8}\,\text{ là }\,C_{13}^8 = 1287\) Câu 19 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính hệ số của \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\) Giải: \({\left( {1 + x} \right)^{11}} = \sum\limits_{k = 0}^{11} {C_{11}^k{x^k}{{.1}^{11 - k}}} \) Hệ số \({x^7}\) trong khai triển \({\left( {1 + x} \right)^{11}}\text{ là }\,C_{11}^7 = 330.\) Câu 20 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính hệ số của \({x^9}\) trong khai triển \({\left( {2 - x} \right)^{19}}\) Giải Ta có: \({\left( {2 - x} \right)^{19}} = \sum\limits_{k = 0}^{19} {C_{19}^k{2^{19 - k}}{{\left( { - x} \right)}^k}} \) Hệ số của \({x^9}\) là\( - C_{19}^9{2^{10}} = - 94595072\) (ứng với\( k = 9\)) Câu 21 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Khai triển \({\left( {3x + 1} \right)^{10}}\) cho tới x3. Giải Ta có: \(\eqalign{ & {\left( {3x + 1} \right)^{10}} = \sum\limits_{k = 0}^{10} {C_{10}^k{{\left( {3x} \right)}^k} = 1 + C_{10}^1\left( {3x} \right) + C_{10}^2{{\left( {3x} \right)}^2} + C_{10}^3{{\left( {3x} \right)}^3} + ...} \cr & \,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, = 1 + 30x + 405{x^2} + 3240{x^3} + ... \cr} \) Câu 22 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm hệ số của \({x^7}\) trong khai triển của \({\left( {3 - 2x} \right)^{15}}\) Giải Ta có: \({\left( {3 - 2x} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{3^{15 - k}}{{\left( { - 2x} \right)}^k}} \) Hệ số của \(x^7\) à :\(C_{15}^7{.3^8}{\left( { - 2} \right)^7} = - C_{15}^7{.3^8}{.2^7}\) (ứng với \(k = 7\)) Câu 23 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\) trong khai triển của \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}}\) Giải: Ta có: \({\left( {{x^3} + xy} \right)^{15}} = \sum\limits_{k = 0}^{15} {C_{15}^k{{\left( {{x^3}} \right)}^{15 - k}}{{\left( {xy} \right)}^k}} \) Số hạng chứa \({x^{25}}{y^{10}}\) ứng với k = 10 đó là : \(C_{15}^{10}{\left( {{x^3}} \right)^5}{\left( {xy} \right)^{10}} = C_{15}^{10}{x^{25}}{y^{10}}\) Vậy hệ số của \({x^{25}}{y^{10}}\,la\,C_{15}^{10} = 3003\) Câu 24 trang 67 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Biết rằng hệ số của \({x^{n - 2}}\) trong khai triển \({\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n}\) bằng \(31\). Tìm \(n\). Giải: Ta có: \({\left( {x - {1 \over 4}} \right)^n} = \sum\limits_{k = 0}^n {C_n^k{x^{n - k}}{{\left( { - {1 \over 4}} \right)}^k}} \) Hệ số của \(x^{n-2}\) là \(C_n^2{\left( { - {1 \over 4}} \right)^2} = 31 \Rightarrow {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2} = 16.31 \Rightarrow n = 32\)
