Câu 5 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\lim \left( {2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}} \right)\) b. \(\lim \left( {{{\sin 3n} \over {4n}} - 1} \right)\) c. \(\lim {{n - 1} \over n}\) d. \(\lim {{n + 2} \over {n + 1}}\) Giải: a. Đặt \({u_n} = 2 + {{{{\left( { - 1} \right)}^n}} \over {n + 2}}\) Ta có: \(\eqalign{ & \left| {{u_n} - 2} \right| = {1 \over {n + 2}} < {1 \over n}\,\text{ và }\,\lim {1 \over n} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} - 2} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = 2 \cr} \) b. Đặt \({u_n} = {{\sin 3n} \over {4n}} - 1\) Ta có: \(\eqalign{ & \left| {{u_n} + 1} \right| = \left| {{{\sin 3n} \over {4n}}} \right| \le {1 \over {4n}}\,\text{ và }\,\lim {1 \over {4n}} = 0 \cr & \Rightarrow \lim \left( {{u_n} + 1} \right) = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = - 1 \cr} \) c. \(\lim {{n - 1} \over n} = \lim \left( {1 - {1 \over n}} \right) = \lim 1 - \lim {1 \over n} = 1\) d. \(\lim {{n + 2} \over {n + 1}} = \lim {{n\left( {1 + {2 \over n}} \right)} \over {n\left( {1 + {1 \over n}} \right)}} = \lim {{1 + {2 \over n}} \over {1 + {1 \over n}}} = {{\lim 1 + \lim {2 \over n}} \over {\lim 1 + \lim {1 \over n}}} = {{1 + 0} \over {1 + 0}} = 1\) Câu 6 trang 134 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm \(\lim{\rm{ }}{u_n}\) với a. \({u_n} = {{{n^2} - 3n + 5} \over {2{n^2} - 1}}\) b. \({u_n} = {{ - 2{n^2} + n + 2} \over {3{n^4} + 5}}\) c. \({u_n} = {{\sqrt {2{n^2} - n} } \over {1 - 3{n^2}}}\) d. \({u_n} = {{{4^n}} \over {{{2.3}^n} + {4^n}}}\) Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & \lim{u_n} = \lim {{{n^2}\left( {1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \right)} \over {{n^2}\left( {2 - {1 \over {{n^2}}}} \right)}} = \lim {{1 - {3 \over n} + {5 \over {{n^2}}}} \over {2 - {1 \over {{n^2}}}}} \cr & = {{\lim 1 - \lim {3 \over n} + \lim {5 \over {{n^2}}}} \over {\lim 2 - \lim {1 \over {{n^2}}}}} = {{1 - 0 + 0} \over {2 - 0}} = {1 \over 2} \cr} \) b. \(\lim {u_n} = \lim {{{n^4}\left( {{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \right)} \over {{n^4}\left( {3 + {5 \over {{n^4}}}} \right)}} = \lim {{{{ - 2} \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^3}}} + {{ 2} \over {{n^4}}}} \over {3 + {5 \over {{n^4}}}}} = {0 \over 3} = 0\) c. \({{\mathop{\rm limu}\nolimits} _n} = \lim {{{n^2}\sqrt {{2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} } \over {{n^2}\left( {{1 \over {{n^2}}} - 3} \right)}} = \lim {{\sqrt {{2 \over {{n^2}}} - {1 \over {{n^3}}}} } \over {{1 \over {{n^2}}} - 3}} = {0 \over { - 3}} = 0\) d. Chia cả tử và mẫu \(u_n\) cho \(4^n\) ta được : \(\lim {u_n} = \lim {1 \over {2.{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} + 1}} = 1\,\text{ vì }\,\lim {\left( {{3 \over 4}} \right)^n} = 0\) Câu 7 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 10\,\text{ và }\,{u_{n + 1}} = {{{u_n}} \over 5} + 3\) với mọi \(n ≥ 1\) a. Chứng minh rằng dãy số (vn) xác định bởi \({v_n} = {u_n} - {{15} \over 4}\) là một cấp số nhân. b. Tìm \(\lim u_n\). Giải: a. Ta có: \({v_{n + 1}} = {u_{n + 1}} - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over {5}} + 3 - {{15} \over 4} = {{{u_n}} \over 5} - {3 \over 4}\) Thay \({u_n} = {v_n} + {{15} \over 4}\) vào ta được : \({v_{n + 1}} = {1 \over 5}\left( {{v_n} + {{15} \over 4}} \right) - {3 \over 4} = {1 \over 5}{v_n},\forall n\) Vậy (vn) là cấp số nhân lùi vô hạn với công bội \(q = {1 \over 5}\) b. Ta có: \(\eqalign{ & {v_1} = {u_1} - {{15} \over 4} = 10 - {{15} \over 4} = {{25} \over 4} \cr & {v_n} = {v_1}.{q^{n - 1}} = {{25} \over 4}.{\left( {{1 \over 5}} \right)^{n - 1}} \cr & \Rightarrow \lim {v_n} = 0 \Rightarrow \lim {u_n} = {{15} \over 4} \cr} \) Câu 8 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho một tam giác đều ABC cạnh a. Tam giác A1B1C1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác ABC, tam giác A2B2C2 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác A1B1C1,…, tam giác An+1Bn+1Cn+1 có các đỉnh là trung điểm các cạnh của tam giác AnBnCn, … . Gọi p1, p2, ..., pn, … và S1, S2, …, Sn, … theo thứ tự là chu vi và diện tích của các tam giác a. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn). b. Tìm các tổng \({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ...\,va\,{S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ...\) Giải: a. Ta có: \({p_1} = {a \over 2} + {a \over 2} + {a \over 2} = {{3a} \over 2};\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{p_2} = {{3a} \over 4} = {{3a} \over {{2^2}}},...,{p_n} = {{3a} \over {{2^n}}}\) (chứng minh bằng qui nạp) Vì \(\lim {1 \over {{2^n}}} = \lim {\left( {{1 \over 2}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {p_n} = 0\) Diện tích ta\) giác ABC là \(S = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}\). Diện tích tam giác A1B1C1là \({S_1} = {S \over 4}\) Bằng phương pháp qui nạp, ta chứng minh được rằng diện tích tam giác \({A_n}{B_n}{C_n}\,la\,{S_n} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over 4}.{\left( {{1 \over 4}} \right)^n}\) Vì \(\lim {\left( {{1 \over 4}} \right)^n} = 0\,nen\,\lim {S_n} = 0\) b. Ta có (pn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q = {1 \over 2},\) do đó : \({p_1} + {p_2} + ... + {p_n} + ... = {{{p_1}} \over {1 - {1 \over 2}}} = 2{p_1} = 3a\) (Sn) là cấp số nhân lùi vô hạn có công bội \(q' = {1 \over 4}\) do đó : \({S_1} + {S_2} + ... + {S_n} + ... = {{{S_1}} \over {1 - {1 \over 4}}} = {4 \over 3}{S_1} = {S \over 3} = {{{a^2}\sqrt 3 } \over {12}}\) Câu 9 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Biểu diễn các số thập phân vô hạn tuần hoàn sau dưới dạng phân số : a. \(0,444…\) b. \(0,2121…\) c. \(0,32111…\) Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & 0,444... = 0,4 + 0,04 + 0,004 + ... \cr & = {4 \over {10}} + {4 \over {{{10}^2}}} + {4 \over {{{10}^3}}} + ... \cr & = 4\left( {{1 \over {10}} + {1 \over {{{10}^2}}} + ...} \right) \cr & = 4.{{{1 \over {10}}} \over {1 - {1 \over {10}}}} = {4 \over 9} \cr} \) b. \(\eqalign{ & 0,2121... = 0,21 + 0,0021 + ... \cr & = {{21} \over {{{10}^2}}} + {{21} \over {{{10}^4}}} + ... = 21\left( {{1 \over {{{10}^2}}} + {1 \over {{{10}^4}}} + ...} \right) \cr & = 21.{{{1 \over {{{10}^2}}}} \over {1 - {1 \over {{{10}^2}}}}} = {{21} \over {99}} = {7 \over {33}} \cr} \) . c. \(\eqalign{ & 0,32111... = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}} + {1 \over {1000}}.\left( {{1 \over {10}}} \right) + {1 \over {1000}}.{\left( {{1 \over {10}}} \right)^2} + ... \cr & = {{32} \over {100}} + {1 \over {1000}}.{1 \over {1 - {1 \over {10}}}} = {{32} \over {100}} + {1 \over {900}} = {{289} \over {900}} \cr} \) Câu 10 trang 135 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Gọi C là nửa đường tròn đường kính AB = 2R, C1là đường gồm hai nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 2}\), C2là đường gồm bốn nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over 4},...\) Cnlà đường gồm \({2^n}\) nửa đường tròn đường kính \({{AB} \over {{2^n}}},...\) (h. 4.2). Gọi pn là độ dài của Cn, Sn là diện tích hình phẳng giới hạn bởi và đoạn thẳng AB. a. Tính pn và Sn. b. Tìm giới hạn của các dãy số (pn) và (Sn). Giải: a. Ta có: \({p_n} = {2^n}.{R \over {{2^n}}}.\pi = \pi R\) với mọi n \({S_n} = {2^n}.{\left( {{R \over {{2^n}}}} \right)^2}.{\pi \over 2} = {{\pi {R^2}} \over 2}.{1 \over {{2^n}}}\) b. \(\lim {p_n} = \pi R;\,\,\lim {S_n} = 0.\)
