Câu 26 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Áp dụng định nghĩa giới hạn bên phải và giới hạn bên trái của hàm số, tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} \) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {5^ - }} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right)\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}}\) Giải: a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} \sqrt {x - 1} = 0\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 5} \left( {\sqrt {5 - x} + 2x} \right) = 2.5 = 10\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} {1 \over {x - 3}} = + \infty \,\left( {\text{ vì }\,x > 3} \right)\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {1 \over {x - 3}} = - \infty \,\left( {\text{ vì }\,x < 3} \right)\) Câu 27 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau (nếu có) : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) Giải: a. Với mọi \(x > 2\), ta có \(\left| {x - 2} \right| = x - 2.\) Do đó : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{x - 2} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} 1 = 1\) b. Với mọi \(x < 2\), ta có \(|x – 2| = 2 – x\). Do đó : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{2 - x} \over {x - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} - 1 = - 1\) c. Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}} \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{\left| {x - 2} \right|} \over {x - 2}}\) Câu 28 trang 158 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }}\) Giải a. Với \(x > 0\), ta có : \({{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} = {{\sqrt x \left( \sqrt x + 2 \right)} \over {\sqrt x \left( {\sqrt x - 1} \right)}} = {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}}\) do đó : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{x + 2\sqrt x } \over {x - \sqrt x }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} {{\sqrt x + 2} \over {\sqrt x - 1}} = {2 \over { - 1}} = - 2\) b. Với \(x < 2\), ta có : \({{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }} = {{\left( {2 - x} \right)\left( {2 + x} \right)} \over {\sqrt {2 - x} }} = \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} \) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} {{4 - {x^2}} \over {\sqrt {2 - x} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {x + 2} \right)\sqrt {2 - x} = 0\) c. Với mọi \(x > -1\) \({{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = {{\left( {x + 1} \right)\left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}\sqrt {x + 1} }} = {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}}\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{{x^2} + 3x + 2} \over {\sqrt {{x^5} + {x^4}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 1} \right)}^ + }} {{\sqrt {x + 1} \left( {x + 2} \right)} \over {{x^2}}} = 0\) d. Với \(-3 < x < 3\) \({{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} = {{\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {4 - x} \right)} } \over {\sqrt {\left( {3 - x} \right)\left( {3 + x} \right)} }} = {{\sqrt {4 - x} } \over {\sqrt {3 + x} }}\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ - }} {{\sqrt {{x^2} - 7x + 12} } \over {\sqrt {9 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt 6 }} = {{\sqrt 6 } \over 6}\) Câu 29 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{2\left| x \right| - 1\,\text{ với }\,x \le - 2,} \cr {\sqrt {2{x^2} + 1} \,\text{ với }\,x > - 2.} \cr} } \right.\) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right)\,\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right)\) (nếu có). Giải Ta có: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ - }} \left( {2\left| x \right| - 1} \right) = 2\left| { - 2} \right| - 1 = 3 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} \sqrt {2{x^2} + 1} = 3 \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} f\left( x \right) = 3. \cr} \) Câu 30 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 8} \right|\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} + 2x}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {{{{x^3}} \over {{x^2} - 3}}} \) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \root 3 \of {{{2x\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 6}}} \) e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\sqrt {1 - {x^3}} - 3x} \over {2{x^2} + x - 3}}\) f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} } \over {2x + 3}}\) Giải a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to \sqrt 3 } \left| {{x^2} - 8} \right| = \left| {{{\left( {\sqrt 3 } \right)}^2} - 8} \right| = 5\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} {{{x^2} + x + 1} \over {{x^2} + 2x}} = {{{2^2} + 2 + 1} \over {{2^2} + 2.2}} = {7 \over 8}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} \sqrt {{{{x^3}} \over {{x^2} - 3}}} = \sqrt {{1 \over 2}} = {{\sqrt 2 } \over 2}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} \root 3 \of {{{2x\left( {x + 1} \right)} \over {{x^2} - 6}}} = \root 3 \of {{{24} \over 3}} = 2\) e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\sqrt {1 - {x^3}} - 3x} \over {2{x^2} + x - 3}} = {{3 + 6} \over {8 - 5}} = 3\) f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{2\left| {x + 1} \right| - 5\sqrt {{x^2} - 3} } \over {2x + 3}} = {{2 - 5} \over { - 4 + 3}} = 3\) Câu 31 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }}\) Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } = {{{x^3} + 2\sqrt 2 } \over {{x^2} - 2}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^3} + {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^3}} \over {{x^2} - {{\left( {\sqrt 2 } \right)}^2}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \right)} \over {\left( {x + \sqrt 2 } \right)\left( {x - \sqrt 2 } \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \sqrt 2 } {{{x^2} - x\sqrt 2 + 2} \over {x - \sqrt 2 }} = {{ - 3\sqrt 2 } \over 2} \cr} \) b. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{{x^4} - 27x} \over {2{x^2} - 3x - 9}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {x - 3} \right)\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {\left( {x - 3} \right)\left( {2x + 3} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to 3} {{x\left( {{x^2} + 3x + 9} \right)} \over {2x + 3}} = 9 \cr} \) c. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{{x^4} - 16} \over {{x^2} + 6x + 8}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {{x^2} - 4} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {\left( {x + 2} \right)\left( {x + 4} \right)}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 2} {{\left( {x - 2} \right)\left( {{x^2} + 4} \right)} \over {x + 4}} = - 16 \cr} \) d. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} + x - 1} \over {\sqrt {{x^2} - {x^3}} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{\sqrt {1 - x} - \left( {1 - x} \right)} \over {\left| x \right|\sqrt {1 - x} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {{1 - \sqrt {1 - x} } \over {\left| x \right|}} = 1 \cr} \) Câu 32 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm các giới hạn sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} \) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \) Giải a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2{x^5} + {x^3} - 1} \over {\left( {2{x^2} - 1} \right)\left( {{x^3} + x} \right)}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \root 3 \of {{{2 + {1 \over {{x^2}}} - {1 \over {{x^5}}}} \over {\left( {2 - {1 \over {{x^2}}}} \right)\left( {1 + {1 \over {{x^2}}}} \right)}}} = 1\) b. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\sqrt {{x^2} + x + 5} }} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2\left| x \right| + 3} \over {\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - 2x + 3} \over { - x\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }} =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{2 - {3 \over x}} \over {\sqrt {1 + {1 \over x} + {5 \over {{x^2}}}} }}= 2 \cr} \) c. \({x^2} + x \ge 0 \Leftrightarrow x \le - 1\,\text{ hoặc }\,x \ge 0\) Với mọi \(x ≤ -1\), \(x \ne - {3 \over 2}\) \({{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} = {{\left| x \right|\sqrt {1 + {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - x\sqrt {1+ {1 \over x}} + 2x} \over {2x + 3}} = {{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {{x^2} + x} + 2x} \over {2x + 3}} =\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty }{{ - \sqrt {1 + {1 \over x}} + 2} \over {2 + {3 \over x}}}= {1 \over 2}\) d. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {x + 1} \right)\sqrt {{x \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{x{{\left( {x + 1} \right)}^2}} \over {2{x^4} + {x^2} + 1}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{1 \over x} + {2 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^3}}}} \over {2 + {1 \over {{x^2}}} + {1 \over {{x^4}}}}}} = 0 \cr} \) Câu 33 trang 159 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{x^2} - 2x + 3\,\text{ với }\,x \le 2.} \cr {4x - 3\,\text{ với }\,x > 2} \cr} } \right.\) Tìm \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right),\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\,\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\) (nếu có). Giải: Ta có: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \left( {4x - 3} \right) =4.2-3= 5 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} \left( {{x^2} - 2x + 3} \right) =2^2-2.2+3= 3 \cr} \) Vì \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} f\left( x \right) \ne \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ - }} f\left( x \right)\) nên không tồn tại \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right)\)
