Câu 46 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng : a. Các hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\,\text {và }\,g\left( x \right) = {{{x^3} - 1} \over {{x^2} + 1}}\) liên tục tại mọi điểm \(x \in\mathbb R\). b. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}}\,\text{ với}\,x \ne 2,} \cr {1\,\text{ với}\,x = 2} \cr} } \right.\) liên tục tại điểm \(x = 2\) c. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{{x^3} - 1} \over {x - 1}}\,\text{ với}\,x \ne 1} \cr {2\,\text{ với}\,x = 1} \cr} } \right.\) gián đoạn tại điểm \(x = 1\) Giải: a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} - x + 3\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^3} - x + 3} \right) = x_0^3 - {x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy f liên tục tại điểm x0. Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\). Hàm số g là hàm phân thức nên g liên tục trên tập xác định \(D=\mathbb R\). b. Với mọi \(x ≠ 2\), ta có: \(f\left( x \right) = {{{x^2} - 3x + 2} \over {x - 2}} = {{\left( {x - 1} \right)\left( {x - 2} \right)} \over {x - 2}} = x - 1\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 2} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 2} \left( x-1 \right) = 1 = f\left( 2 \right)\) Vậy hàm số f liên tục tại điểm \(x = 2\) c) Với mọi \(x ≠ 1\), ta có: \(f(x) = {{{x^3} - 1} \over {x - 1}} = {x^2} + x + 1\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to 1} f(x) = \mathop {\lim }\limits_{x \to 1} \,({x^2} + x + 1) = 3 \ne 2 = f(1)\) Vậy hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 1\) Câu 47 trang 172 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng : a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) liên tục trên \(\mathbb R\) b. Hàm số \(f\left( x \right) = {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }}\) liên tục trên khoảng (-1 ; 1) ; c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) liên tục trên đoạn [-2 ; 2]; d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) Giải: a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} - {x^2} + 2\) xác định trên \(\mathbb R\). Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^4} - {x^2} + 2} \right) = x_0^4 - x_0^2 + 2 = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy f liên tục tại x0 nên f liên tục trên \(\mathbb R\). b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi : \(1 - {x^2} > 0 \Leftrightarrow - 1 < x < 1\) Vậy hàm số f xác định trên khoảng (-1 ; 1) Với mọi x0ϵ (-1 ; 1), ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {1 \over {\sqrt {1 - {x^2}} }} = {1 \over {\sqrt {1 - x_0^2} }} = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số f liên tục tại điểm x0. Do đó f liên tục trên khoảng (-1 ; 1) c. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{x^2}} \) xác định trên đoạn [-2 ; 2] Với mọi \({x_0} \in \left( { - 2;2} \right)\) , ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2x_0^2} = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số f liên tục trên khoảng (-2 ; 2). Ngoài ra, ta có : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { - 2} \right)}^ + }} f\left( x \right) = \sqrt {8 - 2{{\left( { - 2} \right)}^2}} = 0 = f\left( { - 2} \right)\) và \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{\left( { 2} \right)}^ - }} = \sqrt {8 - {{2.2}^2}} = 0 = f\left( 2 \right)\) Do đó hàm số f liên tục trên đoạn [-2 ; 2] d. Hàm số \(f\left( x \right) = \sqrt {2x - 1} \) xác định trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) Với \({x_0} \in \left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {2x - 1} = \sqrt {2{x_0} - 1} = f\left( {{x_0}} \right)\) Nên hàm số liên tục trên khoảng \(\left( {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) Mặt khác ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {{{1 \over 2}}^ + }} \sqrt {2x - 1} = 0 = f\left( {{1 \over 2}} \right)\) Do đó hàm số f liên tục trên nửa khoảng \(\left[ {{1 \over 2}; + \infty } \right)\) Câu 48 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng mỗi hàm số sau đây liên tục trên tập xác định của nó : a. \(f\left( x \right) = {{{x^2} + 3x + 4} \over {2x + 1}}\) b. \(f\left( x \right) = \sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} \) Giải: a. Tập xác định của hàm số f là \(\mathbb R\) \\(\left\{ {{1 \over 2}} \right\}\) . Hàm số phân thức hữu tỉ nên f liên tục trên tập xác định của nó, tức là liên tục trên các khoảng \(\left( { - \infty ; - {1 \over 2}} \right)\) và \(\left( { - {1 \over 2}; + \infty } \right)\) b. Hàm số f xác định khi và chỉ khi : \(\left\{ {\matrix{{1 - x \ge 0} \cr {2 - x \ge 0} \cr} } \right. \Leftrightarrow x \le 1\) Do đó tập xác định của hàm số f là \(\left( { - \infty ;1} \right]\) Với mọi \({x_0} \in \left( { - \infty ;1} \right)\) ,ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = \sqrt {1 - {x_0}} + \sqrt {2 - {x_0}} = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số f liên tục trên khoảng \(\left( { - \infty ;1} \right).\) Ngoài ra \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} \left( {\sqrt {1 - x} + \sqrt {2 - x} } \right) = 1 = f\left( 1 \right)\) Do đó hàm số f liên tục trên \(\left( { - \infty ;1} \right]\) Câu 49 trang 173 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng phương trình : \({x^2}\cos x + x\sin x + 1 = 0\) Có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng (0 ; π). Giải: Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\cos x + x\sin x + 1\) liên tục trên đoạn \(\left[ {0;\pi } \right],f\left( 0 \right) = 1 > 0,f\left( \pi \right) = 1 - {\pi ^2} < 0.\) Vì \(f(0).f(1) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một số thực \(c \in (0 ; π)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số thực c là một nghiệm của phương trình đã cho. Câu 50 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng : a. Hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}\,\text{ với }\,x \le 0} \cr {{x^2} + 2\,\text{ với }\,x > 0} \cr} } \right.\) Gián đoạn tại điểm x = 0 b. Mỗi hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \,\text{ và }\,h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} } \right.\) liên tục trên tập xác định của nó. Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ + }} \left( {{x^2} + 2} \right) = 2 \cr & \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {0^ - }} {\left( {x + 1} \right)^2} = 1 \cr} \) Suy ra hàm số f gián đoạn tại \(x = 0\) b. Tập xác định của hàm số \(g\left( x \right) = \sqrt {x - 3} \) là \(\left[ {3; + \infty } \right)\) Với x0> 3 ta có \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sqrt {x - 3} = \sqrt {{x_0} - 3} = g\left( {{x_0}} \right)\) Nên g liên tục trên khoảng \(\left( {3; + \infty } \right),\) ngoài ra : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} g\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {3^ + }} \sqrt {x - 3} = 0 = g\left( 3 \right)\) Vậy g liên tục trên \(\left[ {3; + \infty } \right)\) *Tập xác định của hàm số \(h\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over {x - 2}}\,\text{ với }\,x \le 1} \cr { - {1 \over x}\,\text{ với }\,x > 1} \cr} \,\text{ là }\,\mathbb R} \right.\) Rõ ràng h liên tục trên \((-∞; 1)\) và trên \((1 ; +∞)\) (Vì trên các khoảng này h là hàm phân thức) Tại x0 = 1 ta có : \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} {1 \over {x - 2}} = - 1;\cr &\mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} {{ - 1} \over x} = - 1 \cr & \Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ - }} h\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {1^ + }} h\left( x \right) = h\left( 1 \right) \cr &\Rightarrow h\,\text{ liên tục tại }x = 1 \cr} \) Vậy h liên tục trên \(\mathbb R\). Câu 51 trang 175 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải thích vì sao : a. Hàm số \(f\left( x \right) = {x^2}\sin x - 2{\cos ^2}x + 3\) liên tục trên \(\mathbb R\). b. Hàm số \(g\left( x \right) = {{{x^3} + x\cos x + \sin x} \over {2\sin x + 3}}\) liên tục trên \(\mathbb R\) c. Hàm số \(h\left( x \right) = {{\left( {2x + 1} \right)\sin x - {{\cos }^3}x} \over {x\sin x}}\) liên tục tại mọi điểm \(x ≠ kπ, k \in\mathbb Z\). Giải a. Với mọi \(x_0\in \mathbb R\), ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^2} = x_0^2,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}}\sin x= \sin {x_0}\) \(\text{ và }\,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\) (vì các hàm số y = sinx và y = cosx liên tục trên R) Do đó : \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \left( {{x^2}{\mathop{\rm sinx}\nolimits} - 2co{s^2}x + 3} \right) \) \(= x_0^2\sin {x_0} - 2{\cos ^2}{x_0} + 3 = f\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số f liên tục tại mọi điểm \(x_0\in\mathbb R\). Do đó hàm số f liên tục trên \(\mathbb R\). b. Tập xác định của g là \(\mathbb R\) Với mọi \(x_0\in\mathbb R\) ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} {x^3} = x_0^3,\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \sin x = \sin {x_0},\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} \cos x = \cos {x_0}\) Do đó \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} g\left( x \right) = {{x_0^3 + {x_0}\cos {x_0} + \sin {x_0}} \over {2\sin {x_0} + 3}} = g\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số g liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\). Do đó g liên tục trên \(\mathbb R\). c. Tương tự b, \(∀ x_0 ≠ kπ, k \in\mathbb Z\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} h\left( x \right) = {{\left( {2{x_0} + 1} \right)\sin {x_0} - {{\cos }^3}{x_0}} \over {{x_0}\sin {x_0}}} = h\left( {{x_0}} \right)\) Vậy hàm số h liên tục tại mọi \(x_0\in\mathbb R\). Do đó h liên tục trên \(\mathbb R\). Câu 52 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng hàm số \(f\left( x \right) = {x^2} + x + 3 + {1 \over {x - 2}}\) liên tục trên tập xác định của nó. Giải: Tập xác định D = R \ {2} Với mọi x0 ≠ 2, ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {x_0}} f\left( x \right) = x_0^2 + {x_0} + 3 + {1 \over {{x_0} - 2}} = f\left( {{x_0}} \right)\) Suy ra f liên tục tại mọi x0 ≠ 2 nên f liên tục trên tập xác định Câu 53 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + x + 1 = 0\) có ít nhất một nghiệm âm lớn hơn -1. Giải: Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + x + 1\) liên tục trên đoạn [-1 ; 0] có \(f(-1) = -1\) và \(f(0) = 1\). Vì \(f(-1)f(0) < 0\) nên theo hệ quả của định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại ít nhất một điểm \(c \in (-1 ; 0)\) sao cho \(f(c) = 0\). Số c là nghiệm âm lớn hơn -1 của phương trình đã cho. Câu 54 trang 176 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(f\left( x \right) = \left\{ {\matrix{{{1 \over x}\, \text{ với } \,x \ne 0} \cr { - 1\, \text{ với } \,x = 0} \cr} } \right.\) a. Chứng tỏ rằng \(f(-1)f(2) < 0\) b. Chứng tỏ rằng phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm thuộc khoảng (-1 ; 2) c. Điều khẳng định trong b có mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục hay không ? Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & f\left( { - 1} \right) = - 1 \cr & f\left( 2 \right) = {1 \over 2} \cr & \Rightarrow f\left( { - 1} \right).f\left( 2 \right) < 0 \cr} \) b. \(f(x) ≠ 0\) với mọi \(x\ne 0\) \(f(0)=-1\ne0\) Do đó \(f(x)\ne 0\) với mọi \(x \in\mathbb R\) nên phương trình \(f(x) = 0\) không có nghiệm. c. Điều khẳng định trong b không mâu thuẫn với định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục vì hàm số f gián đoạn tại điểm \(x = 0 \in [-1 ; 2]\)