Đại số và Giải tích 11 nâng cao - Chương 5 - Câu hỏi và bài tập ôn tập chương V

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    Câu 49 trang 220 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm của các hàm số sau :
    a. \(y = {{{x^4}} \over 2} + {{5{x^3}} \over 3} - \sqrt {2x} + 1\)
    b. \(y = {{{x^2} + 3x - {a^2}} \over {x - 1}}\) (a là hằng số)
    c. \(y = \left( {2 - {x^2}} \right)\cos x + 2x\sin x\)
    d. \(y = {\tan ^2}x + \tan {x^2}\)
    Giải
    a. \(y' = 2{x^3} + 5{x^2} - {1 \over {\sqrt {2x} }}\)
    b. \(y' = {{\left( {2x + 3} \right)\left( {x - 1} \right) - \left( {{x^2} + 3x - {a^2}} \right)} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}} = {{{x^2} - 2x + {a^2} - 3} \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
    c. \(y' = - 2x\cos x - \left( {2 - {x^2}} \right)\sin x + 2\sin x + 2x\cos x \)
    \(= {x^2}\sin x\)
    d. \(y' = 2\tan x\left( {1 + {{\tan }^2}x} \right) + 2x\left( {1 + {{\tan }^2}{x^2}} \right)\)



    Câu 50 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao.
    a. Chứng minh rằng \({\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)'} = - {n \over {{x^{n + 1}}}},\) trong đó n ϵ N*
    b. Với x ≠ 0 và n ϵ N*, ta đặt \({x^{ - n}} = {1 \over {{x^n}}}.\) Từ đó hãy so sánh đẳng thức trong câu a với công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) và nêu nhận xét.
    Giải:
    a. Ta có: \(\left( {{1 \over {{x^n}}}} \right)' = - {{\left( {{x^n}} \right)'} \over {{x^{2n}}}} = {{ - n{x^{n - 1}}} \over {{x^{2n}}}} = - {n \over {{x^{n + 1}}}}\)
    b. Ta có: \(\left( {{x^{ - n}}} \right)' = - n{x^{ - n - 1}}\) (Theo a)
    Nhận xét : Công thức \(\left( {{x^n}} \right)' = n{x^{n - 1}}\) đúng với mọi giá trị nguyên của n (chú ý rằng khi n ≤ 0 thì chỉ có thể xét đạo hàm trên \(\left( { - \infty ;0} \right) \cup \left( {0; + \infty } \right)\))



    Câu 51 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm đến cấp được nêu kèm theo của các hàm số sau (n ϵ N*)
    a. \(y=\sin x,\;y'''\)
    b. \(y = \sin x\sin 5x,{y^{\left( 4 \right)}}\)
    c. \(y = {\left( {4 - x} \right)^5},{y^{\left( n \right)}}\)
    d. \(y = {1 \over {2 + x}},{y^{\left( n \right)}}\)
    e. \(y = {1 \over {2x + 1}},{y^{\left( n \right)}}\)
    f. \(y = {\cos ^2}x,{y^{\left( {2n} \right)}}\)
    Giải:
    a.
    \(\begin{array}{l}
    y' = \cos x\\
    y" = - \sin x\\
    y''' = - \cos x
    \end{array}\)
    b.
    \(\begin{array}{l}
    y = \frac{1}{2}\left( {\cos 4x - \cos 6x} \right)\\
    y' = - 2\sin 4x + 3\sin 6x\\
    y" = - 8\cos 4x + 18\cos 6x\\
    y'" = 32\sin 4x - 108\sin 6x\\
    {y^{\left( 4 \right)}} = 128\cos 4x - 648\cos 6x
    \end{array}\)
    c.
    \(\begin{array}{l}
    y' = - 5{\left( {4 - x} \right)^4}\\
    y" = 20{\left( {4 - x} \right)^3}\\
    y"' = - 60{\left( {4 - x} \right)^2}\\
    {y^{\left( 4 \right)}} = 120\left( {4 - x} \right)\\
    {y^{\left( 5 \right)}} = - 120\\
    {y^{\left( n \right)}} = 0\,\left( {\forall n \ge 6} \right)
    \end{array}\)
    d.
    \(\begin{array}{l}
    y = \frac{1}{{x + 2}} = {\left( {x + 2} \right)^{ - 1}}\\
    y' = - 1{\left( {x + 2} \right)^{ - 2}}\\
    y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){\left( {x + 2} \right)^{ - 3}},...
    \end{array}\)
    Bằng qui nạp ta chứng minh được :
    \({y^{\left( n \right)}} = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right)...\left( { - n} \right).{\left( {x + 2} \right)^{ - n - 1}}\)
    \(= {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{n!}}{{{{\left( {x + 2} \right)}^{n + 1}}}}\)
    e.
    \(\begin{array}{l}
    y = {\left( {2x + 1} \right)^{ - 1}}\\
    y' = \left( { - 1} \right)\left( {2{{\left( {2x + 1} \right)}^{ - 2}}} \right)\\
    y" = \left( { - 1} \right)\left( { - 2} \right){.2^2}{\left( {2x + 1} \right)^{ - 3}},...
    \end{array}\)
    Bằng qui nạp ta chứng minh được :
    \({y^{\left( n \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}.\frac{{{2^n}.n!}}{{{{\left( {2x + 1} \right)}^{n + 1}}}}\)
    f. Ta có:
    \(\begin{array}{l}
    y' = - \sin 2x\\
    y" = - 2\cos 2x\\
    y"' = {2^2}\sin 2x\\
    {y^{\left( 4 \right)}} = {2^3}\cos 2x\\
    {y^{\left( 5 \right)}} = - {2^4}\sin 2x\\
    {y^{\left( 6 \right)}} = - {2^5}\cos 2x,...
    \end{array}\)
    Bằng qui nạp ta chứng minh được :
    \({y^{\left( {2n} \right)}} = {\left( { - 1} \right)^n}{.2^{2n - 1}}\cos 2x\)



    Câu 52 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính vi phân của hàm số \(y = {1 \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^2}}}\) tại điểm \(x = {\pi \over 6}\) ứng với \(\Delta x = {\pi \over {360}}\) (tính chính xác đến hàng phần vạn).
    Giải:
    Ta có: \(df\left( x \right) = {{ - 2\left( {1 + \tan x} \right){1 \over {{{\cos }^2}x}}} \over {{{\left( {1 + \tan x} \right)}^4}}}.\Delta x = {{ - 2\Delta x} \over {{{\cos }^2}x{{\left( {1 + \tan x} \right)}^3}}}\)
    Suy ra: \(df\left( {{\pi \over 6}} \right) = {{ - 2.{\pi \over {360}}} \over {{{\cos }^2}{\pi \over 6}{{\left( {1 + \tan {\pi \over 6}} \right)}^3}}} = {{ - \pi } \over {180.{3 \over 4}{{\left( {1 + {1 \over {\sqrt 3 }}} \right)}^3}}}\)
    \(\approx - 0,0059\)



    Câu 53 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Gọi (C) là đồ thị của hàm số \(f\left( x \right) = {x^4} + 2{x^2} - 1\). Viết phương trình tiếp tuyến của (C) trong mỗi trường hợp sau :
    a. Biết tung độ tiếp điểm bằng 2
    b. Biết rằng tiếp tuyến song song với trục hoành
    c. Biết rằng tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3\)
    d. Biết rằng tiếp tuyến đi qua điểm A(0 ; -6)
    Giải:
    a. \(f'\left( x \right) = 4{x^3} + 4x\) .Ta có \(2 = {y_0} = x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \Leftrightarrow x_0^4 + 2x_0^2 - 3 = 0\)
    \( \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x_0^2 = 1} \cr {x_0^2 = - 3\,\left( \text{loại} \right)} \cr } \Leftrightarrow {x_0} = \pm 1} \right.\)
    * Với x0 = 1 ta có \(f'\left( 1 \right) = {4.1^3} + 4.1 = 8\)
    Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
    \(y - 2 = 8\left( {x - 1} \right) \Leftrightarrow y = 8x - 6\)
    * Với x0 = -1 ta có \(f'\left( { - 1} \right) = 4.{\left( { - 1} \right)^3} + 4.\left( { - 1} \right) = - 8\)
    Phương trình tiếp tuyến trong trường hợp này là :
    \(y - 2 = - 8\left( {x + 1} \right) \Leftrightarrow y = - 8x - 6\)
    b. Tiếp tuyến song song với trục hoành tại điểm có hoành độ x0 thỏa :
    \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0 \Leftrightarrow 4x_0^3 + 4{x_0} = 0 \Leftrightarrow 4{x_0}\left( {x_0^2 + 1} \right) = 0 \)
    \(\Leftrightarrow {x_0} = 0\,\,\left( {{y_0} = - 1} \right)\)
    Phương trình tiếp tuyến cần tìm là : \(y - \left( { - 1} \right) = 0\left( {x - 0} \right) \Leftrightarrow y = - 1\)
    c. Vì tiếp tuyến phải tìm vuông góc với đường thẳng \(y = - {1 \over 8}x + 3,\) nên hệ số vuông góc của tiếp tuyến bằng 8, suy ra :
    \(\eqalign{ & y' = 8 \Leftrightarrow 4{x^3} + 4x - 8 = 0 \cr & \Leftrightarrow 4\left( {x - 1} \right)\left( {{x^2} + x + 2} \right) = 0 \Leftrightarrow x = 1 \cr} \)
    Theo câu a, ta được phương trình tiếp tuyến phải tìm là : \(y = 8x – 6\)
    d. Cách 1 : Phương trình tiếp tuyến tại điểm \(M\left( {{x_0};f\left( {{x_0}} \right)} \right)\) của đồ thị (C) là :
    \(\eqalign{ & y = f'\left( {{x_0}} \right).\left( {x - {x_0}} \right) + f\left( {{x_0}} \right) \cr & \Leftrightarrow y = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {x - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr} \)
    Vì tiếp tuyến phải tìm đi qua điểm A(0 ; -6) nên ta có :
    \(\eqalign{ & - 6 = \left( {4x_0^3 + 4{x_0}} \right)\left( {0 - {x_0}} \right) + x_0^4 + 2x_0^2 - 1 \cr & \Leftrightarrow 3x_0^4 + 2x_0^2 - 5 = 0 \cr & \Leftrightarrow x_0^2 = 1\Leftrightarrow{x_0} = \pm 1 \cr} \)
    Theo câu a, phương trình của hai tiếp tuyến cần phải tìm lần lượt là :
    \(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)
    Cách 2 : Phương trình đường thẳng (1) đi qua điểm A(0 ; -6) với hệ số góc bằng k là : y = kx – 6
    Để đường thẳng (1) là tiếp tuyến của đồ thị (C) (hay tiếp xúc với đồ thị (C)) thì ta phải tìm k sao cho :
    \(\left\{ {\matrix{ {f\left( x \right) = kx - 6} \cr {f'\left( x \right) = k} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{x^4} + 2{x^2} - 1 = kx - 6} \cr {4{x^3} + 4x = k} \cr } } \right.\)
    Khử k từ hệ trên ta được : \(3{x^4} + 2{x^2} - 5 = 0 \Leftrightarrow {x^2} = 1 \Leftrightarrow x = \pm 1\)
    Suy ra \(k = ± 8\).
    Vậy hai tiếp tuyến phải tìm có phương trình là : \(y = 8x - 6;\;y = - 8x -6\)



    Câu 54 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm một điểm trên đồ thị của hàm số \(y = {1 \over {x - 1}}\) sao cho tiếp tuyến tại đó cùng với các trục tọa độ tạo thành một tam giác có diện tích bằng 2.
    Giải
    Với mọi x ≠ 1, ta có : \(y' = - {1 \over {{{\left( {x - 1} \right)}^2}}}\)
    Phương trình tiếp tuyến của đồ thị đã cho tại điểm \({M_0}\left( {{x_0};{1 \over {{x_0} - 1}}} \right)\) (với \({x_0} \ne 1\) ) là : \(y = - {1 \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\left( {x - {x_0}} \right) + {1 \over {{x_0} - 1}}\)
    Tiếp tuyến này cắt trục hoành tại điểm A có
    hoành độ xA thỏa mãn : \({{{x_A} - {x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = {1 \over {{x_0} - 1}} \Leftrightarrow {x_A} = 2{x_0} - 1\)
    và cắt trục tung tại điểm B có tung độ yB là :
    \({y_B} = {{{x_0}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} + {1 \over {{x_0} - 1}} = {{2{x_0} - 1} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}}\)
    Ta có:
    \(\eqalign{ & {S_{OAB}} = 2 \Leftrightarrow {1 \over 2}\left| {{x_A}} \right|.\left| {{y_B}} \right| = 2 \cr & \Leftrightarrow {{{{\left( {2{x_0} - 1} \right)}^2}} \over {{{\left( {{x_0} - 1} \right)}^2}}} = 4 \Leftrightarrow {x_0} = {3 \over 4} \cr} \)
    Suy ra : \({y_0} = {1 \over {{3 \over 4} - 1}} = - 4.\) Vậy điểm phải tìm Mo có tọa độ là \(\left( {{3 \over 4}; - 4} \right)\)



    Câu 55 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Đồ thị (P) của một hàm số bậc hai y = P(x) đã bị xóa đi, chỉ còn lại trục đối xứng ∆, điểm A thuộc (P) và tiếp tuyến tại A của (P) (h. 5.8). Hãy tìm P(x) và vẽ lại đồ thị (P).
    [​IMG]
    Giải:
    [​IMG]
    Đa thức phải tìm có dạng : \(P\left( x \right) = a{x^2} + bx + c\,\left( {a \ne 0} \right)\)
    Ta có: \(P'\left( x \right) = 2ax + b\)
    Vì trục đối xứng (∆) có phương trình x = 1 nên : \( - {b \over {2a}} = 1\,\,\left( 1 \right)\)
    Vì đồ thị (P) đi qua điểm A(3 ; 0) nên ta có P(3) = 0, tức là:
    \(9a + 3b + c = 0\,\,\left( 2 \right)\)
    Vì hệ số góc của tiếp tuyến tại điểm A(3 ; 0) bằng \(\tan {\pi \over 4}\) nên ta có \(P’(3) = 1\), tức là :
    \(6a + b = 1\,\left( 3 \right)\)
    Giải hệ ba phương trình (1), (2) và (3) với ba ẩn số a, b và c, ta được :
    \(\eqalign{ & a = {1 \over 4} \cr & b = - {1 \over 2} \cr & c = - {3 \over 4} \cr} \)
    Vậy \(P\left( x \right) = {1 \over 4}{x^2} - {1 \over 2}x - {3 \over 4}\)



    Câu 56 trang 221 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho parabol (P) : \(y = {x^2}.\) Gọi M1 và M2 là hai điểm thuộc (P), lần lượt có hoành độ là x1 = -2 và x2 = 1.
    Hãy tìm trên (P) một điểm C sao cho tiếp tuyến tại C song song với cát tuyến M1M2. Viết phương trình của tiếp tuyến đó.
    Giải:
    [​IMG]
    Các điểm M1 và M2 có tọa độ là M1(-2 ; 4); M2(1 ; 1)
    Hệ số góc của cát tuyến M1M2 là \(\tan \varphi = {{\Delta y} \over {\Delta x}} = {{4 - 1} \over { - 2 - 1}} = - 1\)
    Vì tiếp tuyến tại điểm \(C\left( {{x_0};x_0^2} \right)\) song song với cát tuyến M1M2 nên ta có :
    \(y'\left( {{x_0}} \right) = - 1 \Leftrightarrow 2{x_0} = - 1 \Leftrightarrow {x_0} = {{ - 1} \over 2},\)
    Suy ra tọa độ của điểm C là \(\left( { - {1 \over 2};{1 \over 4}} \right)\)
    Vậy phương trình tiếp tuyến phải tìm là :
    \(y = \left( { - 1} \right)\left( {x + {1 \over 2}} \right) + {1 \over 4} \Leftrightarrow y = - x - {1 \over 4}\)



    Câu 57 trang 222 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một chất điểm chuyển động có phương trình \(S = {t^3} - 3{t^2} - 9t + 2,\) ở đó, t > 0, t tính bằng giây (s) và S tính bằng mét (m)
    a. Tính vận tốc tại thời điểm t = 2
    b. Tính gia tốc tại thời điểm t = 3
    c. Tính gia tốc tại thời điểm vận tốc bằng 0
    d. Tính vận tốc tại thời điểm gia tốc bằng 0.
    Giải:
    Ta có:
    \(\begin{array}{l}
    s' = 3{t^2} - 6t - 9\\
    s" = 6t - 6
    \end{array}\)
    a. Vận tốc tại thời điểm t = 2 là : v = s’(2) = -9 m/s
    b. Gia tốc tại thời điểm t = 3 là : a = s”(3) = 12 m/s2
    c.
    \(\begin{array}{l}
    v = s' = 0 \Leftrightarrow 3{t^2} - 6t - 9 = 0 \Leftrightarrow t = 3\\
    a\left( 3 \right) = s"\left( 3 \right) = 12\,m/{s^2}
    \end{array}\)
    d.
    \(\begin{array}{l}
    a = s" = 0 \Leftrightarrow 6t - 6 = 0 \Leftrightarrow t = 1\\
    v\left( 1 \right) = s'\left( 1 \right) = - 12\,m/s
    \end{array}\)