Câu 1 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a. Tính \(\sin {\pi \over 8}\,\text{ và }\,\cos {\pi \over 8}\) b. Chứng minh rằng có hằng số C > 0 để có đẳng thức \(\sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x = C\cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right)\) với mọi x. Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & {\sin ^2}{\pi \over 8} = {{1 - \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 - {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 - \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \sin {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 - \sqrt 2 } \cr & {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} = {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over 8} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \) b. Ta có: \(\eqalign{ & {1^2} + {\left( {\sqrt 2 - 1} \right)^2} = 4 - 2\sqrt 2 .\,\text{ Do đó}\,: \cr & \sin x + \left( {\sqrt 2 - 1} \right)\cos x \cr & = \left( {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } } \right)\left( {{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\sin x + {{\sqrt 2 - 1} \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \left( {\sin x\cos {\pi \over 8} + \sin {\pi \over 8}\cos x} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \sin \left( {x + {\pi \over 8}} \right) \cr & = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cos \left( {x - {{3\pi } \over 8}} \right) \cr & \text{ Vì }\,{1 \over {\sqrt {4 - 2\sqrt 2 } }} = {{\sqrt {4 + 2\sqrt 2 } } \over {\sqrt 8 }} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } = \cos {\pi \over 8}. \cr & \text{Vậy }\,C = \sqrt {4 - 2\sqrt 2 } \cr} \) Câu 2 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải phương trình \(\tan x = \cot 2x\) Biểu diễn các nghiệm trên đường tròn lượng giác. Giải: Điều kiện \({\mathop{\rm cosx}\nolimits} .sin2x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\sin x \ne 0} \cr {\cos x \ne 0} \cr } } \right. \Leftrightarrow x \ne k{\pi \over 2}\) \(\eqalign{ & \tan x = \cot 2x \Leftrightarrow {{\sin x} \over {\cos x}} = {{\cos 2x} \over {\sin 2x}} \cr& \Leftrightarrow\cos x \cos 2x - \sin x\sin 2x = 0 \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = 0 \Leftrightarrow \cos x\left( {4{{\cos }^2}x - 3} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow {\cos ^2}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {{1 + \cos 2x} \over 2} = {3 \over 4} \Leftrightarrow \cos 2x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow x =\pm {\pi \over 6} + k\pi (k\in\mathbb Z) \cr} \) Biểu diễn nghiệm trên đường tròn được 4 điểm. Câu 3 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. a. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(P\left( x \right) = {\left( {\sin x + \cos x} \right)^3}\) b. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(Q\left( x \right) = {1 \over {{{\sin }^2}x{{\cos }^2}x}}\) c. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right)\) Giải: a. \(P\left( x \right) = 2\sqrt 2 {\cos ^3}\left( {x - {\pi \over 4}} \right) \ge - 2\sqrt 2 \) (đẳng thức xảy ra khi \(x = - {{3\pi } \over 4}+k2\pi\) ) Vậy \(\min P\left( x \right) = - 2\sqrt 2 \) b. \(Q\left( x \right) = {4 \over {{{\sin }^2}2x}} \ge 4\) (đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \(x = \pm {{3\pi } \over 4}\) ) Vậy min Q(x) = 4 c. \(R\left( x \right) = P\left( x \right) + Q\left( x \right) \ge 4 - 2\sqrt 2 \) (đẳng thức xảy ra, chẳng hạn khi \(x = - {{3\pi } \over 4}\) Vậy \({\mathop{\rm min\,R}\nolimits} \left( x \right) = 4 - 2\sqrt 2 \) Câu 4 trang 223 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình : a. \({\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4}\) b. \({\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi \over 4}\) c. \(\cos x\cos 2x = \cos 3x\) d. \(\tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0\) Giải: a. \(\eqalign{ & {\sin ^4}x + {\cos ^4}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow 1 - 2{\sin ^2}x{\cos ^2}x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow 1 - {1 \over 2}{\sin ^2}2x = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow {\sin ^2}2x = {1 \over 2} \Leftrightarrow {{1 - \cos 4x} \over 2} = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow \cos 4x = 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 4},k \in\mathbb Z \cr} \) b. \(\eqalign{ & {\sin ^2}2x - {\sin ^2}x = {\sin ^2}{\pi \over 4} \cr & \Leftrightarrow 4{\sin ^2}x{\cos ^2}x - {\sin ^2}x = {1 \over 2} \cr & \Leftrightarrow 8{\sin ^2}x\left( {1 - {{\sin }^2}x} \right) - 2{\sin ^2}x = 1 \cr & \Leftrightarrow 8{\sin ^4}x - 6{\sin ^2}x + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{{\sin }^2}x = {1 \over 2}} \cr {{{\sin }^2}x = {1 \over 4}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 2}} \cr {{{1 - \cos 2x} \over 2} = {1 \over 4}} \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos 2x = 0} \cr {\cos 2x = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 4} + k{\pi \over 2}} \cr {x = {\pi \over 6} + k{\pi \over 2}} \cr } } \right. \cr} \) c. \(\eqalign{ & \cos x\cos 2x = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow {1 \over 2}\left( {\cos 3x + \cos x} \right) = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos 3x = \cos x \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {3x = x + k2\pi } \cr {3x = - x + k2\pi } \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = k\pi } \cr {x = k{\pi \over 2}} \cr } } \right.\cr& \Leftrightarrow x = k{\pi \over 2},k \in\mathbb Z \cr} \) d. Điều kiên: \(\cos 2x \ne0\) \(\eqalign{ & \tan 2x - \sin 2x + \cos 2x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \tan 2x\left( {1 - \cos 2x} \right) - \left( {1 - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left( {1 - \cos 2x} \right)\left( {\tan 2x - 1} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\tan 2x = 1} \cr {\cos 2x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 8} + k{\pi \over 2}} \cr {x = k\pi } \cr } } \right. k \in\mathbb Z \cr} \) Câu 5 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau : a. \(2\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - \sqrt {12} \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = 3\) b. \(\sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x\) c. \({\sin ^2}x - 3\sin x\cos x + 2{\cos ^2}x = 0\) Giải a. \({a^2} + {b^2} = {2^2} + {\left( { - \sqrt {12} } \right)^2} = 16.\) Chia hai vế cho \(\sqrt {{a^2} + {b^2}} = 4\) ta được : \(\eqalign{ & {1 \over 2}\sin \left( {x + 10^\circ } \right) - {{\sqrt 3 } \over 2}\cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x + 10^\circ } \right)\cos 60^\circ - \sin 60^\circ \cos \left( {x + 10^\circ } \right) = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \sin \left( {x - 50^\circ } \right) = \sin \alpha \,\text{ với }\,\sin \alpha = {3 \over 4} \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x - 50^\circ = \alpha + k360^\circ } \cr {x - 50^\circ = 180^\circ - \alpha + k360^\circ } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \alpha + 50^\circ + k360^\circ } \cr {x = 230^\circ - \alpha + k360^\circ } \cr } } \right. \cr} \) b. \(\eqalign{ & \sqrt 3 \cos 5x + \sin 5x = 2\cos 3x \cr & \Leftrightarrow {{\sqrt 3 } \over 2}\cos 5x + {1 \over 2}\sin 5x = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos 5x.\cos {\pi \over 6} + \sin 5x\sin {\pi \over 6} = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {5x - {\pi \over 6}} \right) = \cos 3x \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {5x - {\pi \over 6} = 3x + k2\pi } \cr {5x - {\pi \over 6} = - 3x + k2\pi } \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over {12}} + k\pi } \cr {x = {\pi \over {48}} + k{\pi \over 4}} \cr } } \right. \cr} \) c. * \(\cos x = 0 \Rightarrow \sin x = \pm 1\,\text{ nên }\,x = {\pi \over 2} + k\pi \) không là nghiệm của phương trình. * Chia hai vế phương trình cho \({\cos ^2}x\) ta được : \({\tan ^2}x - 3\tan x + 2 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\tan x = 1} \cr {\tan x = 2} \cr } } \right.\) \(\Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr {x = \arctan 2 + k\pi } \cr } } \right.\) Câu 6 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau : a. \({\tan ^2}x + 3 = {3 \over {\cos x}}\) b. \({\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}}\) c. \(\tan x + \tan 2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}}\) Giải: a. Đặt \(t = {1 \over {\cos x}}\left( {x \ne {\pi \over 2} + k\pi } \right)\) Ta có: \(\eqalign{ & 2\left( {{t^2} - 1} \right) + 3 = 3t \Leftrightarrow 2{t^2} - 3t + 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {t = 1} \cr {t = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = 1} \cr {\cos x = 2\,\left( \text{loại} \right)} \cr } } \right. \Leftrightarrow x = \pi + k2\pi \cr} \) b. Điều kiện : \(\cos x \ne 0 \Leftrightarrow x = {\pi \over 2} + k\pi \) \(\eqalign{ & {\tan ^2}x = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \Leftrightarrow {{{{\sin }^2}x} \over {{{\cos }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - {{\sin }^2}x}} = {{1 + \cos x} \over {1 + \sin x}} \cr & \Leftrightarrow {{1 - {{\cos }^2}x} \over {1 - \sin x}} = 1 + \cos x \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = - 1} \cr {1 - \cos x = 1 - {\mathop{\rm sinx}\nolimits} } \cr } } \right. \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = - 1} \cr {\tan x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \pi + k2\pi } \cr {x = {\pi \over 4} + k\pi } \cr }\left( {k \in\mathbb Z} \right) } \right. \cr} \) c. Điều kiện \(\cos x \ne 0,\cos 2x \ne 0 \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {\cos x \ne 0} \cr {{\mathop{\rm cosx}\nolimits} \ne \pm {1 \over {\sqrt 2 }}} \cr } } \right.\) \(\eqalign{ & {\mathop{\rm tanx}\nolimits} + tan2x = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \Leftrightarrow {{\sin 3x} \over {\cos x\cos 2x}} = {{\sin 3x} \over {\cos x}} \cr & \Leftrightarrow \sin 3x = sin3xcos2x \Leftrightarrow sin3x\left( {1 - \cos 2x} \right) = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\cos 2x = 1} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\sin 3x = 0} \cr {\sin x = 0} \cr } } \right. \Leftrightarrow x = k{\pi \over 3},k \in\mathbb Z \cr} \) Câu 7 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một toa tàu nhỏ có 3 toa khách đỗ ở sân ga. Có 3 hành khách bước lên tàu. Hỏi : a. Có bao nhiêu khả năng trong đó 3 hành khách lên 3 toa khách nhau ? b. Có bao nhiêu khả năng trong đó 2 hành khách cùng lên một toa, còn hành khách thứ ba thì lên toa khác ? Giải: a. Mỗi cách xếp 3 người vào 3 toa, mỗi toa một người là một hoán vị của tập hợp 3 hành khách. Vậy có 3! = 6 khả năng. b. Có \(C_3^2 = 3\) cách chọn hai hành khách đi chung toa. Với mỗi cách ấy lại có 3 cách chọn toa tàu cho họ. Vậy có 3.3 = 9 cách chọn hai hành khách và toa tàu cho họ đi chung. Mỗi cách ấy, hành khách thứ ba có thể chọn một trong hai toa tàu còn lại. Áp dụng qui tắc nhân, ta có 9.2 = 18 khả năng có thể xảy ra. Câu 8 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho tập hợp \(A = \left\{ {1,2,3,...,n} \right\}\) với \(n \in\mathbb N, n > 1\). Hỏi có bao nhiêu cặp (x ; y) với x ϵ A, y ϵ A và x > y ? Giải: Với hai phần tử x và y của A sao cho x > y, ta chỉ lập được một cặp duy nhất (x , y) thỏa mãn đề bài. Do đó mỗi cặp như vậy có thể xem là một tổ hợp chập 2 của n phần tử. Vậy có \(C_n^2 = {{n\left( {n - 1} \right)} \over 2}\) cặp Câu 9 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một túi chứa 16 viên bi, trong đó có 7 viên bi trắng, 6 viên bi đen và 3 viên bi đỏ. a. Lấy ngẫu nhiên 2 viên bi trong túi. - Tính xác suất để được 2 viên bi đen. - Tính xác suất để được 1 viên bi đen và 1 viên bi trắng. b. Lấy ngẫu nhiên 3 viên bi trong túi. - Tính xác suất để được 3 viên bi đỏ. - Tính xác suất để được 3 viên bi với 3 màu khác nhau. Giải a. Số trường hợp có thể là \(C_{16}^2.\) Số trường hợp rút được cả hai viên bi đen là \(C_6^2.\) Do đó xác suất để rút được hai viên bi đen là \({{C_6^2} \over {C_{16}^2}} = {1 \over 8}.\) Số trường hợp rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là \(C_7^1.C_6^1 = 42.\) Do đó xác suất rút được 1 viên bi trắng, 1 viên bi đen là \({{42} \over {C_{16}^2}} = {7 \over {20}}\) b. Số trường hợp có thể là \(C_{16}^3.\) Số trường hợp rút được 3 viên bi đỏ là \(C_3^3 = 1.\) Vậy xác suất rút được 3 viên bi đỏ là \({1 \over {C_{16}^3}} = {1 \over {560}}.\) Theo qui tắc nhân, ta có : 7.6.3 = 126 cách chọn 3 viên bi có 3 màu khác nhau. Vậy xác suất rút được 3 viên bi có 3 màu khác nhau là \({{126} \over {C_{16}^3}} = {9 \over {40}}\) Câu 10 trang 224 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Gọi X là biến ngẫu nhiên chỉ số điểm mà một vận động viên bắn cung nhận được khi bắn một lần. Giả sử X có bảng phân bố xác suất như sau : X97531P0,20,360,230,140,07a. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn một lần b. Tính điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần. Giải: a. Ta có: \(E\left( x \right) = 9.0,2 + 7.0,36 + 5.0,23 + 3.0,14 + 1.0,07 \) \(= 5,96\) b. Điểm trung bình khi vận động viên đó bắn 48 lần là \(48.5,96 = 286,08\). Câu 11 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Ta đã biết \(\cos {\pi \over {{2^2}}} = {1 \over 2}\sqrt 2 .\) Chứng minh rằng : a. \(\cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \) b. \(\cos {\pi \over {{2^n}}} = {1 \over 2}\underbrace {\sqrt {2 + \sqrt {2 + \sqrt {....... + \sqrt 2 } } } }_{n - 1\,\text{ dấu căn}}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 2. Giải: a. \(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^3}}} = {\cos ^2}{\pi \over 8} = {{1 + \cos {\pi \over 4}} \over 2} = {{1 + {{\sqrt 2 } \over 2}} \over 2} \cr&= {{2 + \sqrt 2 } \over 4} \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^3}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt 2 } \cr} \) b. Với n = 2 ta có \(\cos {\pi \over 4} = {1 \over 2}\sqrt 2 \,\,\left( 1 \right)\) đúng. Giả sử (1) đúng với n = k tức là : \(\cos {\pi \over {{2^k}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \) (k – 1 dấu căn) Với n = k + 1 ta có \(\eqalign{ & {\cos ^2}{\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\left( {1 + \cos {\pi \over {{2^k}}}} \right) \cr & = {1 \over 2}\left( {1 + {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & = {1 \over 4}\left( {2 + \sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } } \right) \cr & \Rightarrow \cos {\pi \over {{2^{k + 1}}}} = {1 \over 2}\sqrt {2 + \sqrt {2 + ... + \sqrt 2 } } \,\,\left( {k\,\text{ dấu căn}} \right) \cr} \) Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với \(∀n ≥ 2\). Câu 12 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 3\,\text{ và }\,{u_n} = 4{u_{n - 1}} - 1\) với mọi n ≥ 2 Chứng minh rằng : a. \({u_n} = {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3}\) (1) với mọi số nguyên n ≥ 1 b. (un) là môt dãy số tăng. Giải: a. Với n = 1 ta có \({u_1} = 3 = {{{2^3} + 1} \over 3}\) (1) đúng với n = 1 Giả sử (1) đúng với n = k tức là ta có : \({u_k} = {{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3}\) Với n = k + 1 ta có : \(\eqalign{ & {u_{k + 1}} = 4{u_k} - 1 = 4.{{{2^{2k + 1}} + 1} \over 3} - 1 = {{4\left( {{2^{2k + 1}} + 1} \right) - 3} \over 3} \cr & = {{{2^{2k + 3}} + 1} \over 3} = {{{2^{2\left( {k + 1} \right)+1}} + 1} \over 3} \cr} \) Vậy (1) đúng với n = k + 1 do đó (1) đúng với ∀ n ≥ 1 b. Ta có: \(\eqalign{ & {u_{n + 1}} - {u_n} = {{{2^{2n + 3}} + 1} \over 3} - {{{2^{2n + 1}} + 1} \over 3} = {{{2^{2n + 1}}\left( {{2^2} - 1} \right)} \over 3} \cr & = {2^{2n + 1}} > 0 \Rightarrow {u_{n + 1}} > {u_n} \cr} \) ⇒ (un) là dãy số tăng. Câu 13 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số (un) xác định bởi \({u_1} = 5\,\text{ và }\,{u_n} = {u_{n - 1}} - 2\) với mọi n ≥ 2 a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un) b. Hãy tính tổng 100 số hạng đầu tiên của dãy số (un). Giải: a. Ta có: \({u_{n + 1}} - {u_n} = - 2;\forall n \ge 1\) Suy ra: (un) là một cấp số cộng có số hạng đầu u1 = 5 và công sai d = -2 do đó : \({u_n} = {u_1} + \left( {n - 1} \right)d = 5 + \left( {n - 1} \right)\left( { - 2} \right) = - 2n + 7\) b. \({S_{100}} = {{100} \over 2}\left( {2{u_1} + 99d} \right) = 50\left( {10 - 198} \right) = - 9400\) Câu 14 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho dãy số (un) xác định bởi : \({u_1} = 2\,\text{ và }\,{u_n} = 3{u_{n - 1}}\) với mọi n ≥ 2 a. Hãy tìm số hạng tổng quát của dãy số (un); b. Hãy tính tổng 10 số hạng đầu tiên của dãy số (un). Giải: Ta có: \({{{u_n}} \over {{u_{n - 1}}}} = 3,\forall n \ge 2\) (un) là một cấp số nhân có số hạng đầu u1 = 2 và công bội q = 3 ta được : a. \({u_n} = {2.3^{n - 1}}\) b. \({S_{10}} = {3^{10}} - 1\) Câu 15 trang 225 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Các số x – y, x + y và 3x – 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số cộng, đồng thời các số x – 2, y + 2 và 2x + 3y theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân. Hãy tìm x và y Giải: Theo đề bài ra ta có hệ : \(\left\{ {\matrix{ {2\left( {x + y} \right) = \left( {x - y} \right) + \left( {3x - 3y} \right)} \cr {{{\left( {y + 2} \right)}^2} = \left( {x - 2} \right)\left( {2x + 3y} \right)} \cr } } \right.\) Giải hệ ta được : \(\left\{ {\matrix{ {x = 3} \cr {y = 1} \cr } } \right.\,\text{hoặc}\;\left\{ {\matrix{ {x = - {6 \over {13}}} \cr {y = - {2 \over {13}}} \cr } } \right.\) Câu 16 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính giới hạn của các dãy số sau : a. \(\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}}\) b. \(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}}\) c. \(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}}\) d. \(\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}}\) Giải: a. \(\lim {{{n^4} - 40{n^3} + 15n - 7} \over {{n^4} + n + 100}} = \lim {{1 - {{40} \over n} + {{15} \over {{n^3}}} - {7 \over {{n^4}}}} \over {1 + {1 \over {{n^3}}} + {{100} \over {{n^4}}}}} = 1\) b. \(\lim {{2{n^3} + 35{n^2} - 10n + 3} \over {5{n^5} - {n^3} + 2n}} = \lim {{{2 \over {{n^2}}} + {{35} \over {{n^3}}} - {{10} \over {{n^4}}} + {3 \over {{n^5}}}} \over {5 - {1 \over {{n^2}}} + {2 \over {{n^4}}}}} = 0\) c. \(\lim {{\sqrt {6{n^4} + n + 1} } \over {2n + 1}} = \lim {{{n^2}\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {n\left( {2 + {1 \over n}} \right)}} = \lim {{n.\sqrt {6 + {1 \over {{n^3}}} + {1 \over {{n^4}}}} } \over {2 + {1 \over n}}} \) \(= + \infty \) d. \(\lim {{{{3.2}^n} - {{8.7}^n}} \over {{{4.3}^n} + {{5.7}^n}}} = \lim {{3.{{\left( {{2 \over 7}} \right)}^n} - 8} \over {4{{\left( {{3 \over 7}} \right)}^n} + 5}} = - {8 \over 5}\) Câu 17 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính các giới hạn sau : a. \(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} \) b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right)\) c. \(\lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} - {n^2}} \right)\) d. \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n} - n}}\) Giải: a. \(\lim \sqrt {3{n^4} - 10n + 12} = \lim {n^2}.\sqrt {3 - {{10} \over {{n^3}}} + {{12} \over {{n^4}}}} \) \(= + \infty \) b. \(\lim \left( {{{2.3}^n} - {{5.4}^n}} \right) = \lim {4^n}\left[ {2{{\left( {{3 \over 4}} \right)}^n} - 5} \right] = - \infty \) c. \(\eqalign{ & \lim \left( {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} - {n^2}} \right) \cr&= \lim {{{n^2} + 1} \over {\sqrt {{n^4} + {n^2} + 1} + {n^2}}} \cr & = \lim {{1 + {1 \over {{n^2}}}} \over {\sqrt {1 + {1 \over {{n^2}}} + {1 \over {{n^4}}}} + 1}} = {1 \over 2} \cr} \) d. \(\lim {1 \over {\sqrt {{n^2} + 2n }- n }} = \lim {{\sqrt {{n^2} + 2n} + n} \over {2n}} = \lim {{\sqrt {1 + {2 \over n} }+ 1 } \over 2} = 1\) Câu 18 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm số hạng đầu và công bội của một cấp số nhân lùi vô hạn, biết rằng số hạng thứ hai là \({{12} \over 5}\) và tổng của cấp số nhân này là 15. Giải: Gọi u1, q là số hạng đầu và cộng bội của cấp số nhân (|q| < 1). Theo đề bài ta có : \(\left\{ {\matrix{ {{u_1}q = {{12} \over 5}} \cr {{{{u_1}} \over {1 - q}} = 15} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {{u_1} = 12} \cr {q = {1 \over 5}} \cr } } \right.\,\text{hoặc} \;\left\{ {\matrix{ {{u_1} = 3} \cr {q = {4 \over 5}} \cr } } \right.\) Câu 19 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tính giới hạn của các hàm số sau : a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}}\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}}\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}}\) e. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}}\) f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} \) g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} \) h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1} - x\sqrt 5 } \right)\) i. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}}\) Giải: a. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 1} {{{x^2} + x + 10} \over {{x^3} + 6}} = {{1 + \left( { - 1} \right) + 10} \over { - 1 + 6}} = 2\) b. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{{x^2} + 11x + 30} \over {25 - {x^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{\left( {x + 5} \right)\left( {x + 6} \right)} \over {\left( {5 - x} \right)\left( {5 + x} \right)}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - 5} {{x + 6} \over {5 - x}} = {1 \over {10}}\) c. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{x^6} + 4{x^2} + x - 2} \over {{{\left( {{x^3} + 2} \right)}^2}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{1 + {4 \over {{x^4}}} + {1 \over {{x^5}}} - {2 \over {{x^6}}}} \over {{{\left( {1 + {2 \over {{x^3}}}} \right)}^2}}} = 1\) d. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{x^2} + x - 40} \over {2{x^5} + 7{x^4} + 21}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{{1 \over {{x^3}}} + {1 \over {{x^4}}} - {{40} \over {{x^5}}}} \over {2 + {7 \over x} + {{21} \over {{x^5}}}}} = + \infty \) e. Với mọi x < 0, ta có \({1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} = - \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} \) Do đó : \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2x + 1}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{{1 \over x}\sqrt {2{x^4} + 4{x^2} + 3} } \over {2 + {1 \over x}}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } {{ - \sqrt {2{x^2} + 4 + {3 \over {{x^2}}}} } \over {2 + {1 \over x}}} = - \infty \cr} \) f. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {2x + 1} \right)\sqrt {{{x + 1} \over {2{x^3} + x}}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {{{{{\left( {2x + 1} \right)}^2}\left( {x + 1} \right)} \over {2{x^3} + x}}} = \sqrt 2 \) g. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \sqrt {9{x^2} + 11x - 100} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } x\sqrt {9 + {{11} \over x} - {{100} \over {{x^2}}}} = + \infty \) h. \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {\sqrt {5{x^2} + 1} - x\sqrt 5 } \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {5{x^2} + 1} + x\sqrt 5 }} = 0\) i. \(\eqalign{ & \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {1 \over {\sqrt {{x^2} + x + 1} - x}} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {{x^2} + x + 1} + x} \over {x + 1}} \cr & = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } {{\sqrt {1 + {1 \over x} + {1 \over {{x^2}}}} + 1} \over {1 + {1 \over x}}} = 2 \cr} \) Câu 20 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Chứng minh rằng phương trình \({x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) luôn có ít nhất một nghiệm. Giải Đặt \(f(x)={x^3} + a{x^2} + bx + c = 0\) Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to - \infty } f\left( x \right) = - \infty \) nên có số \(α < 0\) sao cho \(f(α) < 0\). Do \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } f\left( x \right) = + \infty \) nên có số \(β > 0\) sao cho \(f(β) > 0\). Hàm số \(f\left( x \right) = {x^3} + a{x^2} + bx + c\) liên tục trên \(\mathbb R\) chứa đoạn \(\left[ {\alpha ;\beta } \right]\) nên theo định lý về giá trị trung gian của hàm số liên tục, tồn tại số \(d \in \left[ {\alpha ;\beta } \right]\) sao cho \(f(d) = 0\). Đó chính là nghiệm của phương trình \(f(x) = 0\). Câu 21 trang 226 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Tìm đạo hàm của các hàm số sau : a. \(y = {{a{x^3} + b{x^2} + c} \over {\left( {a + b} \right)x}}\) (a, b, c là các hằng số) b. \(y = {\left( {{x^3} - {1 \over {{x^3}}} + 3} \right)^4}\) c. \(y = {x^3}{\cos ^2}x\) d. \(y = \sin \sqrt {4 + {x^2}} \) e. \(y = \sqrt {1 + \tan \left( {x + {1 \over x}} \right)} \) Giải: a. \(\eqalign{ & y' = \left[ {{a \over {a + b}}{x^2} + {b \over {a + b}}x + {c \over {\left( {a + b} \right)x}}} \right] \cr & = {{2a} \over {a + b}}x + {b \over {a + b}} - {c \over {\left( {a + b} \right){x^2}}} \cr & = {{2a{x^3} + b{x^2} - c} \over {\left( {a + b} \right){x^2}}} \cr} \) b. \(\eqalign{ & y' = 4{\left( {{x^3} - {1 \over {{x^3}}} + 3} \right)^3}\left( {3{x^2} + {3 \over {{x^4}}}} \right) \cr & = 12\left( {{x^3} - {1 \over {{x^3}}} + 3} \right)\left( {{x^2} + {1 \over {{x^4}}}} \right) \cr} \) c. \(y' = 3{x^2}{\cos ^2}x - {x^3}\sin 2x = {x^2}\left( {3{{\cos }^2}x - x\sin 2x} \right)\) d. \(y' = {x \over {\sqrt {4 + {x^2}} }}\cos \sqrt {4 + {x^2}} \) e. \(\eqalign{ & y' = {{1 - {1 \over {{x^2}}}} \over {2{{\cos }^2}\left( {x + {1 \over x}} \right)\sqrt {1 + \tan \left( {x + {1 \over x}} \right)} }} \cr & = {{{x^2} - 1} \over {2{x^2}{{\cos }^2}\left( {x + {1 \over x}} \right)\sqrt {1 + \tan \left( {x + {1 \over x}} \right)} }} \cr} \) Câu 22 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hàm số \(y = m{x^3} + {x^2} + x - 5.\) Tìm m để: a. y’ bằng bình phương của một nhị thức bậc nhất ; b. y’ có hai nghiệm trái dấu ; c. \(y’ > 0\) với mọi x. Giải a. Ta có: \(y' = 3m{x^2} + 2x + 1\) Ta có \(y' = 3m{x^2} + 2x + 1\) là bình phương của một nhị thức bậc nhất khi và chỉ khi \(\left\{ {\matrix{ {3m > 0} \cr {\Delta ' = 1 - 3m = 0} \cr } } \right.\Leftrightarrow m={1\over 3}\) b. y’ có hai nghiệm trái dấu ⇔ \(3m.1 < 0 \Leftrightarrow m < 0\) c.+) Với \(m = 0;\; y’ = 2x + 1 > 0 \Leftrightarrow x > - {1 \over 2}\) (không thỏa yêu cầu) +) Với \(m ≠ 0\) \(y' > 0,\forall x \in\mathbb R \Leftrightarrow \left\{ {\matrix{ {3m > 0} \cr {\Delta ' = 1 - 3m < 0} \cr } } \right. \Leftrightarrow m > {1 \over 3}\) Câu 23 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Giải các phương trình sau : a. \(y' = 0\,voi\,y = {1 \over 2}\sin 2x + \sin x - 3\) b. \(y' = 0,\,voi\,y = \sin 3x - 2\cos 3x - 3x + 4\) Giải: a. Ta có: \(\eqalign{ & y' = \cos 2x + \cos x \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \cos 2x + \cos x = 0 \cr & \Leftrightarrow 2{\cos ^2}x + \cos x - 1 = 0 \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {\cos x = - 1} \cr {\cos x = {1 \over 2}} \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = \pi + k2\pi } \cr {x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi } \cr } } \right.\,\,\left( {k \in Z} \right) \cr} \) b. \(\eqalign{ & y' = 3\cos 3x + 6\sin 3x - 3 \cr & y' = 0 \Leftrightarrow \cos 3x + 2\sin 3x = 1 \cr & \Leftrightarrow {1 \over {\sqrt 5 }}\cos 3x + {2 \over {\sqrt 5 }}\sin 3x = {1 \over {\sqrt 5 }} \cr & \Leftrightarrow \cos \left( {3x - \alpha } \right) = \cos \alpha \,\left( {voi\,\cos \alpha = {1 \over {\sqrt 5 }}} \right) \cr & \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {3x - \alpha = \alpha + k2\pi } \cr {3x - \alpha = - \alpha + k2\pi } \cr } } \right. \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {x = {{2\alpha } \over 3} + k{{2\pi } \over 3}} \cr {x = k{{2\pi } \over 3}} \cr } } \right. \cr} \) Câu 24 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Cho hyperbol (H) xác định bởi phương trình \(y = {1 \over x}\) a. Tìm phương trình tiếp tuyến (T) của (H) tại tiếp điểm A có hoành độ a (với a ≠ 0) b. Giả sử (T) cắt trục Ox tại điểm I và cắt trục Oy tại điểm J. Chứng minh rằng A là trung điểm của đoạn thẳng IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). c. Chứng minh rằng diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A. Giải: Với mọi x ≠ 0, ta có : \(f'\left( x \right) = - {1 \over {{x^2}}}\) a. Phương trình tiếp tuyến (T) tại điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là : \(y = - {1 \over {{a^2}}}\left( {x - a} \right)\,\,hay\,y = - {1 \over {{a^2}}}x + {2 \over a}\) b. Ta nhận thấy \(I\left( {2a;0} \right);\,J\left( {0;{2 \over a}} \right)\) Kiểm tra dễ dàng rằng điểm \(A\left( {a;{1 \over a}} \right)\) là trung điểm của đoạn IJ. Từ đó suy ra cách vẽ tiếp tuyến (T). Đó là đường thẳng IJ. c. Diện tích tam giác OIJ là : \(S = {1 \over 2}\left| {OI} \right|.\left| {OJ} \right| = {1 \over 2}\left| {2a.{2 \over a}} \right| = 2\) (đvdt) Vì S không phụ thuộc vào a nên diện tích tam giác OIJ không phụ thuộc vào vị trí của điểm A ϵ (H) Câu 25 trang 227 SGK Đại số và Giải tích 11 Nâng cao. Một điểm M chuyển động trên parabol \(y = - {x^2} + 17x - 66\) theo hướng tăng của x. Một người quan sát đứng ở vị trí P(2 ; 0) Hãy xác định các giá trị của hoành độ điểm M để người quan sát có thể nhìn thấy được điểm M. Giải: Người quan sát thấy được điểm M nếu M thuộc phần parabol nằm trong góc tạo bởi hai tiếp tuyến của parabol đi qua P(2 ; 0). Điều đó tương đương với bất đẳng thức kép x1 ≤ m ≤ x2; trong đó m là hoành độ của điểm M, x1 và x2 là hoành độ hai tiếp điểm. Ta cần xác định x1 và x2. Phương trình đường thẳng (d) đi qua P(2 ; 0) với hệ số góc bằng k là : \(y = k(x – 2)\) Để (d) là tiếp tuyến của parabol \(y = - {x^2} + 17x - 66\) thì ta phải có : \(\left\{ {\matrix{ { - {x^2} + 17x - 66 = k\left( {x - 2} \right)} \cr { - 2x + 17 = k} \cr } } \right.\) Khử k, ta được : \({x^2} - 4x - 32 = 0 \Leftrightarrow \left[ {\matrix{ {{x_1}= - 4} \cr {{x_2} = 8} \cr } } \right.\) (x1 và x2 chính là hai hoành độ tiếp điểm của hai tiếp tuyến kẻ từ P(2 ; 0) đến parabol đã cho). Vậy người quan sát có thể nhìn được các điểm M thuộc parabol đã cho, nếu hoành độ điểm M thuộc đoạn [-4 ; 8].
