ĐỀ KIỂM TRA CHẤT LƯỢNG ĐỘI TUYỂN VMO ĐÀ NẴNG Câu 1. (5,0 điểm) a/ Giải hệ phương trình \[\left\{ \begin{array}{l} {x^3}\left( {2 + 3y} \right) = 1 \\ x\left( {{y^3} - 2} \right) = 3 \\ \end{array} \right.\] b/ Cho m số nguyên dương $a_1;a_2;...;a_m$ thỏa $a_1+a_2+...+a_m=n$ với n là số nguyên dương. Chứng minh rằng: \[{n^2}\left( {\dfrac{1}{{{a_1}}} + \dfrac{1}{{{a_2}}} + ... + \dfrac{1}{{{a_n}}}} \right) \ge 4\left( {n - 1} \right)\left( {a_1^2 + a_2^2 + ... + a_n^2} \right) + n{\left( {n - 2} \right)^2}\] Câu 2. (6,0 điểm) Cho 2 đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ có tâm $O_1;O_2$ tương ứng, cắt nhau tại A,B. a/ Một đường thẳng thay đổi qua A cắt $(C_1);(C_2)$ lần lượt tại M,N khác A. Gọi P là điểm sao cho BMPN là hình bình hành. Tìm quỹ tích điểm P. b/ Đường tròn đường kính $O_1A$ cắt $(C_2)$ tại C, đường tròn đường kính $O_2A$ cắt $(C_1)$ tại D. AC kéo dài cắt $(C_1)$ tại K, AD kéo dài cắt $(C_2)$ tại H. Chứng minh rằng khi $(C_1)$ và $(C_2)$ thay đổi nhưng luôn đi qua A,B thì đường tròn ngoại tiếp tam giác AHK đi qua 1 điểm cố định. Câu 3. (5,0 điểm) Cho p là một số nguyên tố và q là một số nguyên. Chứng minh rằng tồn tại các số nguyên m và n với $0<m<n<p$ và $\left\{ {\dfrac{{q.m}}{p}} \right\} < \left\{ {\dfrac{{q.n}}{p}} \right\} < \dfrac{q}{p}$ khi và chỉ khi q không là ước số của $p-1$. Câu 4. (4,0 điểm) Cho hình vuông 4x4 ô vuông. Người ta muốn đánh dấu 8 ô của hình vuông thỏa mãn đồng thời các điều kiện sau: a/ Số ô được đánh dấu trên mỗi hàng, mỗi cột là một số chẵn. b/ Không có hai hàng nào và không có hai cột nào được đánh dấu giống nhau. Hỏi có bao nhiêu cách đánh dấu như vậy?
