ĐỀ KIỂM TRA TRƯỜNG THU HÙNG VƯƠNG LỚP 10 NĂM 2016 Câu 1 (5,0 điểm). Cho $a_1$, $a_2$, $\ldots$ là dãy vô hạn các số thực nhỏ hơn 1 sao cho $a_{n+1}\left(a_n+2\right)=3$ với mọi $n\geqslant 1$. Chứng minh rằng a) $\dfrac{-7}{2}<a_n<-2, \ \forall n$ b) $a_n=-3, \ \forall n$ Câu 2 (5,0 điểm). Cho tam giác nhọn $ABC$ có trực tâm $H$. Trung tuyến $AX$ cắt $(BHC)$ tại $P$ nằm giữa $A$ và $X$. $BP$, $CP$ lần lượt cắt $AC$, $AB$ tại $Y$, $Z$. Chứng minh rằng $A$ nằm trên trục đẳng phương của $(XYZ)$ và đường tròn $Euler$ của tam giác $ABC$. Câu 3 (5,0 điểm). Cho bốn số nguyên dương $a$, $b$, $c$, $d$ thoả mãn $d=a^2+b^2+c^2$. Chứng minh rằng tồn tại ba số tự nhiên $x$, $y$, $z$ không đồng thời chia hết cho $3$ mà $d=x^2+y^2+z^2$. Câu 4 (5,0 điểm). Mỗi số nguyên dương được tô bỏi $1$ trong $2016$ màu. Chứng minh rằng tồn tại $4$ số nguyên dương $a$, $b$, $c$, $d$ đôi một phân biệt được tô bỏi cùng một màu và thoả mãn đồng thời các điều kiện sau: a) $ad=bc$; b) $\dfrac{b}{a}$ là luỹ thừa đúng của $2$; b) $\dfrac{c}{a}$ là luỹ thừa đúng của $3$;
