ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CHUYÊN KHTN NĂM 2016 ĐỀ THI OLYMPIC CỦA KHTN Câu 1. Giải hệ phương trình $$\begin{cases}x + y + xy = 3 \\ y^{3} + 13y = 6x^{2} + 8\end{cases}$$ Câu 2. Tìm tất cả các bộ số nguyên dương $(x, y, z)$ thỏa mãn phương trình $$7^{x} + 3^{y} = 2^{z}$$ Câu 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn có tâm nội tiếp $I$. Đường thẳng qua $I$ vuông góc với $AI$ cắt cạnh $CA, AB$ lần lượt tại $M, N$. Gọi $E$ đối xứng $C$ qua $M$, $F$ đối xứng $B$ qua $N$. Giả sử $E, F$ đều lần lượt thuộc các đoạn thẳng $CA, AB$. Gọi $(K), (L)$ lần lượt là đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ICE, IBF$. Chứng minh rằng $(K)$ và $(L)$ tiếp xúc nhau tại $I$. Gọi $EF$ theo thứ tự cắt $(K), (L)$ tại $P, Q$ khác $E, F$. Chứng minh rằng $EP = FQ$. Câu 4. Cho dãy số $(a_{n})_{n\in\mathbb{Z}^{+}}$ xác định như sau $$\begin{cases}a_{1} = 0 \\ a_{2} = 1 \\ a_{2n} = 2a_{n} + 1 \\ a_{2n + 1} = 2a_{n}\end{cases}$$ với mọi $n \in \mathbb{Z}^{+}$. Chứng minh rằng tồn tại vô số số nguyên dương $k$ sao cho $a_{k} = 2016$ và tìm số nguyên dương $k$ nhỏ nhất thỏa mãn điều này. Câu 5. Hỏi có tồn tại hay không các số nguyên dương $a, b, c$ thỏa mãn $2a \ge 5c \ge 4b$ sao cho tồn tại số nguyên dương $n \ge 3$ và đa thức hệ số nguyên $P_{n}(x) = a_{0}x^{n} + a_{1}x^{n - 1} + \cdots + a_{n - 3}x^{3} + ax^{2} - bx + c$ có $n$ nghiệm phân biệt. Câu 6. Cho tam giác $ABC$, đường tròn nội tiếp $(I)$ tiếp xúc với $BC, CA, AB$ tại $D, E, F$. Các điểm $M, N$ thuộc đường thẳng $EF$ sao cho $BM, CN$ vuông góc với $BC$. Và $DM, DN$ lần lượt cắt $(I)$ tại $P, Q$. Chứng minh rằng $PQ // BC$ Gọi $K, L$ lần lượt là giao điểm của $DE$ và $QF$, $DF$ và $PE$. Chứng minh rằng $KL \parallel BC$. Chứng minh rằng $I, K, L$ thẳng hàng Câu 7. Cho $a, b, c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab + bc + ca + 2abc = 1$. Chứng minh rằng: $$\sum\frac{a(a + 1)}{(2a + 1)^{2}}\le \frac{9}{16}$$ ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO Câu 1. Giải phương trình nghiệm nguyên dương $(a,p,n)$ trong đó $p$ là một số nguyên tố thỏa mãn : $$a^{2}(a^{2}+1)=5^{n}(5^{n+1}-p^{3})$$ Câu 2. Tìm tất cả đa thức hệ số thực thỏa mãn: $$2(P(x)-P(\frac{1}{x}))^{2}+3P(x^{2})P(\frac{1}{x^{2}})=0$$ Câu 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn có $AB<AC$ , $H,O$ lần lượt là trực tâm và tâm ngoại tiếp của tam giác $ABC$ . $E$ thuộc cạnh $AC$ sao cho $OE || BC$ . Gọi $OE$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $EBC$ tại $F$ . Tiếp tuyến tại $F$ của đường tròn $(EBC)$ cắt $BC,AH$ lần lượt ở $P,Q$. a) Chứng minh đường tròn $(K)$ ngoại tiếp tam giác $BPQ$ đi qua trung điểm $M$ của $AH$ b) Gọi $PA,PH$ cắt $(K)$ ở $S,T$ khác $P$ . Chứng minh rằng hai tiếp tuyến tại $S,T$ của $K$ cắt nhau trên $ME$ Câu 4. Một số nguyên dương $n \geq 2$ được gọi là tốt nếu với mọi $2 \leq k \leq n$ thì $n$ có dạng $n = a_{1}+a_{2}+....+a_{k}$ trong đó $(n,a_{k})=1$ và các số $a_{i}$ là nguyên dương . Tính tổng tất cả các số tốt nhỏ hơn $2016$ Bài 5. Cho $n$ nguyên dương. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $m$ có $n$ chữ số, chỉ gồm các chữ số $1,2,3$ và chia hết cho $S(m)$ (tổng các chữ số của $m$) Bài 6. Cho một hoán vị của dãy số $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$, viết từ trái sang phải. Ta sẽ chuyển dãy số này về đúng vị trí, tức là $\left \{ 1,2,3,...,n \right \}$. Mỗi bước ta thực hiện như sau : Chọn số gần tay nhất mà không đứng đúng vị trí rồi chuyển nó về vị trí đúng (ví dụ : Dãy $3 \ 1 \ 4 \ 2$. Sau một bước chuyển thì $2$ về vị trí thức hai thành $3 \ 2 \ 1 \ 4$. Chứng minh rằng sau ít hơn $2^n$ bước thì dãy luôn chuyển về đúng vị trí. Bài 7. Tứ giác $ABCD$ nội tiếp $(O)$ sao cho $ABCD$ không phải là hình thang. Tiếp tuyến tại $C,D$ của $(O)$ cắt nhau tại $T.TA$ giao $BD$ tại $S.E$ đối xứng $B$ qua $S.AB$ cắt đường tròn ngoại tiếp tam giác $EBC$ tại $F.EC$ giao $TA$ tại $P$. a, Chứng minh rằng $PF$ tiếp xúc đường tròn ngoại tiếp tam giác $EBC$. b, Giả sử $PF$ cắt $AC$ tại $Q. H, K$ lần lượt là hình chiếu của $Q$ lên $F A, F C. M$ là trung điểm $FA$. Chứng minh rằng tiếp tuyến qua $A$ của $(O)$ và đường thẳng qua $Q$ song song với $AO$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $MHK$. Bài 8. Cho $a,b,c>0$ sao cho $a+b+c=3$. Chứng minh rằng : \[\frac{a}{b^2(ca+1)}+\frac{b}{c^2(ab+1)}+\frac{c}{a^2(cb+1)}\geq \frac{9}{(1+abc)(ab+bc+ca)}\] Câu 9. Cho dãy số $(x_{n})$ thỏa $x_{1}=3,x_{2}=7$ và $x_{n+2}=x_{n+1}^{2}-x_{n}^{2}+x_{n}$ Đặt dãy $$y_{n}=\sum_{k=1}^{n} \frac{1}{x_{k}}$$ Chứng minh $(y_{n})$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó . Câu 10. Tìm tất cả các số nguyên tố $p$ sao cho $2p^{2}-1$ là một lũy thừa của $7$ . Câu 11. Cho tam giác $ABC$ nhọn với $AB<AC$ nội tiếp trong đường tròn $(O)$ và trực tâm $H$. $P$ là một điểm nằm trên trung trực $BC$ và nằm trong tam giác $ABC$. Đường thẳng qua $A$ song song $PH$ cắt $(O)$ tại $E$ khác $A$. Đường thẳng qua $E$ song song $AH$ cắt $(O)$ tại $F$ khác $E$. $Q$ là điểm đối xứng $P$ qua $O$. Đường thẳng qua $F$ song song với $AQ$ cắt $PH$ tại $G$. a) Chứng minh rằng bốn điểm $B,C,P,G$ cùng thuộc một đường tròn có tâm $K$. b) Gọi $AQ$ cắt $(O)$ tại $R$ khác $A$. $PQ$ cắt $FR$ tại $L$. Chứng minh rằng $KL=OP$. Câu 12. Tìm số lớn nhất phần tử của một tập hợp là tập con của $\left \{ 1,2,3,....2016 \right \}$ thỏa mãn hiệu hai phần tử bất kỳ khác $4$ và $7$ . Bài 13. Tìm $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa mãn : $$2f(x)\cdot f(x+y)-f(x^2)=\frac{1}{2}x(f(2x)+4f(f(y)))$$ Bài 14. Cho $n$ nguyên dương. Các tâm thẻ trong một bộ sưu tập có giá trị $m!$ với $m$ là số nguyên dương nào đó, Một bộ sưu tập tốt là một bộ sưu tập sao cho với mọi số $k$ thỏa mãn $k\leq n!$, luôn tồn tại một số tâm thẻ trọng bộ sưu tập mà tồng giá trị các thẻ này bằng $k$. Tìm số tấm thẻ ít nhất của bộ sưu tập tốt. Bài 16. Tam giác $ABC$ nội tiếp $(O)$, ngoại tiếp $(I)$. Đường tròn qua $B,C$ tiếp xúc $(I)$ tại $P$. $AI$ giao $BC$ tại $X$. Tiếp tuyến qua $X$ của $(I)$ khác $BC$, giao tiếp tuyến tại $(I)$ tại $P$ tại $S$. $AS$ giao $(O)$ tại $T$ khác $A$. Chứng minh rằng $\angle ATI=90^\circ$. Bài 16. Cho $x,y$ là các số thực dương sao cho $2x+y,2y+x\neq 2$. Tìm giá trị nhỏ nhất của: $$P=\frac{(2x^2+y)(4x+y^2)}{(2x+y-2)^2}+\frac{(2y^2+x)(4y+x^2)}{(x+2y-2)^2}-3(x+y)$$
