Đề thi chọn đội tuyển HSG chuyên SPHN năm 2009

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    ĐỀ CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG CHUYÊN SPHN NĂM 2009

    Bài 1:
    a. Giải phương trình: $(x + 6)5^{1 - |x - 1|} - x= (x + 1)|5^{x} - 1| + 5^{x + 1} + 1$.
    b. Với ba số $x, y, z$ dương ta kí hiệu $M$ là số lớn nhất trong ba số:
    $\ \ln z + \ln(\dfrac{x}{yz} + 1), \ \ln\dfrac{1}{z} + \ln(xyz + 1), \ \ln y + \ln(\dfrac{1}{xyz} + 1)$
    Tìm giá trị nhỏ nhất có thể của $M$ khi $x, y, z$ dương thay đổi.

    Bài 2: Cho các số nguyên dương $a, b, c, d$ thỏa mãn $ac + bd$ chia hết cho $a^{2} + b^{2}$. Chứng minh rằng:
    $\gcd(c^{2} + d^{2} , a^{2} + b^{2}) > 1$

    Bài 3: Cho tam giác $ABC$. Dựng các điểm $X, Y$ sao cho hai tam giác $ABX, ACY$ đồng dạng ngược hướng. Dựng các điểm $T, K$ sao cho các tam giác $BXA, BTC, KXY$ đồng dạng cùng hướng. Chứng minh rằng hai tam giác $BTC$ và $KXY$ có chung tâm đường tròn ngoại tiếp.

    Bài 4: Cho dãy số $\{x_n\}$ xác định bởi:
    $x_1 = 3 ; \ x_{n + 1} = \dfrac{x_n^{2} + 3}{3x_n}$.
    Chứng minh rằng dãy $\{x_n\}$ có giới hạn, tìm giới hạn đó.

    Bài 5: Cho tập hợp $S = \{1, 2, 3, ..., n\}$. Tìm số cách chia tập $S$ thành 3 tập con khác rỗng sao cho mỗi tập con không chứa hai số nguyên liên tiếp.