ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG KHỐI CHUYÊN ĐH VINH NĂM 2009 Câu 1: Giải phương trình: $tan2x+cotx+4cos^2x=0$ Câu 2: Tìm số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho tồn tại các số nguyên dương $a_1;...;a_n$ thỏa mãn : $a^4_1+...+a^4_n=2009$ Câu 3: Cho $a;b;c>0$ thỏa mãn $ab+bc+ac=a+b+c$.Chứng minh rằng: $$\sum\dfrac{a+b+1}{a^2+b^2+1} \le 3$$ Câu 4: Cho tam giác $ABC$ có $\widehat{BAC} =150^0$.Dựng về fía ngoài tam giác $ABC$ các tam giác $BCD;CAE;ABF$ thỏa mãn $\widehat{BDC}= \widehat{CEA}= \widehat{ÀB} =150^0; \widehat{DBC} = \widehat{ABF}= \widehat{ABC} ; \widehat{BCD}= \widehat{ECA}= \widehat{ACB}$.Chứng minh $EF=2AD$ Câu 5: Cho tam giác ABC nội tiếp $(O)$,bán kính $R$.Gọi $M;N;P$ lần lượt là trung điểm $BC;AC;AB$ và $G$ là trọng tâm tam giác $ABC$. 1) CMR: $OG \perp AM \Leftrightarrow AB^{2}+AC^{2}=2BC^{2}$ 2) Khi điểm $A$ thay đổi trên $(O)$ ($B;C$ cố định). Tìm quỹ tích tâm đường ngoại tiếp tam giác $MNP$
