ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG NGHỆ AN NĂM 2009 Bài 1: Giải hệ $$ \begin{cases} & y+x^2=4x\\ & x+z^2=4z\\ & z+y^2=4y\ \end{cases} $$ Bài 2: Cho dãy $a_n=\dfrac{1}{n}([\dfrac{n}{1}]+[\dfrac{n}{2}]+..+[\dfrac{n}{n}]) $ Chứng minh trong dãy trên có vô hạn $n$ thỏa mãn a) $a_{n+1}>a_n$ b) $a_{n+1}<a_n$ Bài 3. Giả sử đa thức $P(x)$ bậc n có đúng n nghiệm thưc phân biệt. Hệ số của $x^i$ là $a_i$. Chứng minh $a_{k-1}a_{k+1}<\dfrac{2k+1}{2k+2}a_k^2$ Bài 4: CHo tam giác $ABC$; $AD; BE;CF$ là các đường cao của nó. Qua $D$ kẻ đường song song với $EF$; cắt $AB; AC$ tại $Q; R$. $EF$ cắt $BC$ tại $P$. Chứng minh; $P;Q;R$ và trung điểm $BC$ đồng viên. Bài 5: Cho tập $X$ là tập n số nguyên dương đầu tiên; $S$ là tập các hoán vị của $X$ sao cho có duy nhất $1$ phần tử $a_i$ lớn hơn tất cả các số đứng trước nó. Tính số phần tử của $S$; và trung bình cộng của tất cả các $a_1$ của các hoán vị thuộc $S$
