ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN HSG TỈNH BÀ RỊA VŨNG TÀU NĂM 2009 Câu 1 (4 điểm) Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{array}{l} \sqrt{x}+ \sqrt{y}= \dfrac{1}{2} \\(x+ \dfrac{1}{y})^{y}=(y+ \dfrac{1}{x} )^{x} \end{array}\right. $$ Câu 2 (4 điểm) Cho hình chóp tam giác đều có thể tích là $1$. Tìm giá trị lớn nhất của bán kính mặt cầu nội tiếp hình chóp. Câu 3 (3 điểm) Cho dãy số $ x_{1}=1 ; x_{n+1} =7- log_{3} ( x_{n} ^{2}+11) $. Chứng minh dãy số có giới hạn và tính giới hạn. Câu 4 (3 điểm) 1. Cho n là số nguyên dương. tính tổng $S=[nlog2]+[nlog5]$ 2. Chứng minh rằng tồn tại n nguyên dương sao cho trong biểu diễn của $5^{n}$ có đúng $2010$ chữ số $0$ đứng cạnh bên nhau. Câu 5 (4 điểm) Cho các số $a,b,c \in(0;2) $ thỏa mãn $abc+2(a+b+c)=ab+bc+ca+4$ Chứng minh rằng: $a^{3}+b^{3}+c^{3} \geq 3$ Câu 6. (2 điểm) Cho $p$ là số nguyên tố lẻ. Chứng minh rằng giới mọi n nguyên dương thì số $S=2^{np} \sum\limits_{k=1}^{p-1}((-1)^{kp}(cos ( \dfrac{k \pi }{p}) )^{pn}) $ là số nguyên và là bội của $p$.
