Bài 1. Cho số nguyên $n>1$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên $n-1 \ge m \ge \left \lfloor \frac{n}{2} \right \rfloor$ sao cho phương trình sau có nghiệm nguyên thỏa mãn $a_m>0:$ $\displaystyle\frac{a_{m}}{m+1}+\frac{a_{m+1}}{m+2}+ \cdots + \frac{a_{n-1}}{n}=\frac{1}{\textrm{lcm}\left ( 1,2, \cdots , n \right )}.$ Bài 2. Cho $P$ là một điểm nằm trong tứ giác $ABCD$ sao cho $\angle BPC=2\angle BAC , \angle PCA = \angle PAD , \angle PDA=\angle PAC.$ Chứng minh rằng $\angle PBD= \left | \angle BCA - \angle PCA \right |.$ Bài 3. Tìm tất cả các hàm $f: \mathbb {R}^+ \times \mathbb {R}^+ \to \mathbb {R}^+$ thỏa mãn đồng thời hai điều kiện sau với mỗi ba số thực dương $x,y,z$. 1) $f\left ( f(x,y),z \right )=x^2y^2f(x,z).$ 2) $f\left ( x,1+f(x,y) \right ) \ge x^2 + xyf(x,x).$ Bài 4. Cho $6$ điểm nằm trên mặt phẳng sao cho không có ba điểm nào thẳng hàng. Biết rằng trong $4$ điểm bất kỳ trong các điểm đã cho, tồn tại một điểm có phương tích đối với đường tròn đi qua ba điểm còn lại bằng một hằng số $k$. Chứng minh rằng cả $6$ điểm đã cho cùng nằm trên một đường tròn. Bài 5. Cho $\left \{ c_i \right \}_{i=0}^{\infty}$ là một dãy các số thực không âm thỏa mãn $c_{2017}>0$. Xét dãy đa thức $P_n(x)$ xác định bởi $P_{-1}(x)=0 \ , \ P_0(x)=1 \ , \ P_{n+1}(x)=xP_n(x)+c_nP_{n-1}(x),\,\forall n\geq 0.$ Chứng minh rằng không tồn tại số nguyên $n>2017$ và số thực $c$ sao cho $P_{2n}(x)=P_n(x^2+c).$ Bài 6. Cho tam giác $ABC$ với tâm ngoại tiếp $O$ và trực tâm $H$. Điểm $P$ đối xứng với $A$ qua $OH$. Giả sử $P$ không nằm trên nửa mặt phẳng bờ $BC$ chứa $A$. Các điểm $E,F$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $BE=PC , CF=PB$. Gọi $K$ là giao điểm của $AP,OH$. Chứng minh rằng $\angle EKF = 90 ^{\circ}.$
