ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN LỚP 11 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - QUẢNG TRỊ NĂM 2011 Câu 1: Tìm số nghiệm của hệ phương trình: $$\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{x^2} = {y^2}}\\ {x + {y^2} + 12\sqrt[8]{{{x^2}y}} = 2010} \end{array}} \right.$$ Câu 2: Tìm tất cả bộ ba số nguyên dương $\left( {n;x;y} \right)$ thoả mãn đồng thời hai điều kiện: a. $n$ và $2010$ nguyên tố cùng nhau. b. ${\left( {{x^2} + {y^2}} \right)^{2010}} = {\left( {xy} \right)^n}$ Câu 3: Cho tú diện $ABCD$ có thể tích $V$ nội tiếp mặt cầu bán kính $R$. Chứng minh rằng: $V \le \frac{{8\sqrt 3 }}{{27}}.{R^3}$ Câu 4: Cho $n$ là số nguyên dương, $x$ là số thực. Chứng minh rằng: $\left| {\cos x} \right| + \left| {\cos 2x} \right| + ... + \left| {\cos {2^n}x} \right| \ge \frac{n}{2}$ Câu 5: Cho ${x_1},{x_2},...,{x_n},...$ là tất cả các nghiệm dương của phương trình $\tan x = x$ được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Tính $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \left( {{x_n} - {x_{n - 1}}} \right)$. Câu 6: Chứng minh rằng không tồn tại đa thức $f\left( x \right)$ bậc 4 với hệ số hữu tỉ sao cho: $\mathop {\min }\limits_{x \in R} f\left( x \right) = \sqrt 2 $
