ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO CHUYÊN KHTN NĂM 2009 VÒNG 1 Bài 1:Giải hệ phương trình $$ \begin{cases} & 6(x + y)(xy + \dfrac{1}{xy} + 2) = (2x^2 + 3y^2)(1 + \dfrac{1}{xy}) \\ & 29(xy + \dfrac{1}{xy}) + 62 = (9x + 13y)(1 + \dfrac{1}{xy}) \end{cases} $$ Bài 2: Giải phương trình nghiệm nguyên dương $x^3+y^3+z^3=tx^2y^2z^2$ Bài 3: Cho tam giác ABC, đường tròn nội tiếp tiếp xúc 3 cạnh tại $A_1, B_1, C_1$, đường trong bàng tiếp tiếp xúc tại $A_2, B_2, C_2$. CM: trọng tâm tam giác $ABC, A_1B_1C_1, A_2B_2C_2$ thẳng hàng Bài 4: Tìm tất cả các hàm số $f: R \rightarrow R$ thỏa mãn: $$ f(x^2) = f^2(x) \text { và } f(x + 1) = f(x) + 1$$ Bài 5: Cho đa thức $P(x)$ có các hệ số nguyên. Biết tồn tại 2 số nguyên phân biệt $u,v$ sao cho $|P(u)| = |P(v)| = 1$. Chứng minh rằng: nếu $P(x)$ có nghiệm hữu tỉ $x_{0}$ thì $x_{0} = \dfrac{1}{2}(u + v)$. Bài 6: Cho $m,p \in N*$ và đa thức $P(x) = a_{0}x^{m + 1} + a_{1}x^{m} + ... + a_{m}x (a_{0} \neq 0)$. Lập dãy $u_{n}$ theo công thức $u_{n} = \sum_{k = 0}^{pn}P(\dfrac{1}{n + k})$. Tìm $\lim_{n \to \infty} u_{n}$. Bài 7: Trên cạnh đáy $BC$ của tam giác cân $ABC$ lấy $P,Q$ sao cho $P$ nằm trên $BQ$. Tìm số đo các góc của tam giác $ABC$ biết $\dfrac{BP}{1} = \dfrac{PQ}{\sqrt{3}} = \dfrac{QC}{2}$ và $\widehat{BAP} + \widehat{QAC} = \widehat{PAQ}$. Bài 8: a) Tìm tất cả các nghiệm nguyên của $x^{2} + 2 = y^{3}$. b) Chứng minh rằng pt $x^{2} + 5 = y^{3}$ không có nghiệm nguyên. VÒNG 2 Bài 1: Dãy số $\{a_n\}$ được xác định như sau: $a_0 = 0, a_1 = 1, a_2 = 2, a_3 = 6$ và $a_{n + 4} = 2a_{n + 3} + a_{n + 2} - 2a_{n + 1} - a_n, \forall n \geq 0.$ a) CMR: $a_n$ chia hết cho $n$ với mọi $n \geq 1$. b) CMR dãy số $\dfrac{a_1}{1}, \dfrac{a_2}{2}, ..., \dfrac{a_n}{n}$ có vô hạn số chia hết cho $2009$. Bài 2: Tìm tất cả các hàm $f: R^{+} \Rightarrow R^{+}$ sao cho $f(x^{3} + y) = [f(x)]^{3} + \dfrac{f(xy)}{f(x)}$ với mọi $x, y \in R^{+}$ Bài 3: Cho đường tròn (O) và hai điểm biên B,C sao cho B,C không phải là đường kính. Điểm A chuyển động trên cung lớn BC (khác B,C). Gọi M là trung điểm cạnh AB và N là hình chiếu vuông góc của M lên AC. Cho trước số thực a khác 1 và gọi K là điểm chia đoạn HN theo tỉ số a, với H là trung điểm cạnh BC. Vẽ đường thẳng d qua K và vuông góc với HN. CMR: d luôn tiếp xúc với một đường cong cố định. Bài 4: Cho tập hợp A gồm $n \geq 5$ phần tử. Xét k tập con bất kì gồm 3 phần tử của A. Hãy tìm số k nhỏ nhất sao cho với mọi cách chọn k tập con trên luôn tồn tại 2 tập con có chung nhau đúng 1 phần tử. Bài 5: Tìm tất cả các bộ số tự nhiên $a, b, c, d$ đôi một phân biệt thỏa mãn: $a^{2 } - b^{2} = b^{2} - c^{2} = c^{2} - d^{2}$ Bài 6: Tìm tất cả các hàm liên tục $f : R \rightarrow R$ thỏa mãn: 1/ $f$ đơn ánh. 2/ $f[2x - f(x)] = x$ 3/ Tồn tại $x_0$ sao cho $f(x_0) = x_0$ Bài 7: Cho 2 đường thẳng $a, b$ cắt nhau tại $M$ và không vuông góc với nhau. Dựng parabol tiếp xúc $a$ tại $A$ và tiếp xúc $b$ tại $B$, với $A, B$ là 2 điểm cho trước thuộc $a, b$. Bài 8: Cho $f(x,y) = ax^{2} + 2bxy + cy^{2} (a, b, c \in R)$ và $D = ac - b^{2} > 0$. Chứng minh rằng tồn tại $u, v \in Z$ không đồng thời bằng $0$ sao cho $|f(u,v)| \le 2\sqrt{\dfrac{D}{3}}$ VÒNG 3 Bài 1: Với n nguyên dương lớn hơn hoặc bàng 4, $a \in R (0\leq a\leq 1)$, chứng minh rằng ${\left(\dfrac{1}{2}+\dfrac{sin\left[\left(\dfrac{1}{2}-\dfrac{1}{4n}\right)\pi\right]}{2sin(\dfrac{\pi}{4n})}\right)}^{a} \leq 1+\sum_{k=1}^{n-1}\dfrac{1}{k}{\left(kcos(\dfrac{k\pi }{2n})\right)}^{a}$ Bài 2:Với n là số nguyên dương, ta kí hiệu a là ước số lớn nhất của n nhưng không vượt quá $\sqrt{n}$, b là số nguyên lớn hơn n nhỏ nhất sao cho nb chia hết cho y, với y là số nguyên nào đó thỏa mãn $n<y<b$. Chứng minh rằng:$ab=(a+1)(a+n)$ Bài 3 Cho tam giác đều $XYZ$ nội tiếp đường tròn $O)$ và điểm $P$ bất kì nằm ở miền trong tam giác đó(không nằm trên biên). Gọi $A,B,C$ lần lượt là giao của $PX,PY,PZ$ với đường tròn $(O)$. a)Gọi $a,b,c$ là độ dài các cạnh $BC,CA,AB$ của tam giác $ABC$. Chứng minh rằng $aPA=bPB=cPC$. b) Gọi ${I}_{a},{I}_{b},{I}_{c}$ lần lượt là tâm đường tròn nội tiếp các tam giác $PBC, PCA, PAB$. Chứng minh rằng $A{I}_{a},B{I}_{b},C{I}_{c}$ đồng quy. Bài 4: Cho số nguyên dương $n>10$. Tìm $m\in {N}^{*}$ lớn nhất thỏa mãn điều kiện: Tồn tại m tập con ${A}_{j}$ của tập $A={1,2,3,...2n}$, mỗi tập con gồm n phần tử sao cho $|{A}_{i} \cap {A}_{j} \cap {A}_{k}| \leq 1$, với mọi $1 \leq i<j<k \leq n$ Bài 5. Với mỗi $n$ lớn hơn hoặc bằng $2$ , xét ước chung lớn nhất của tất cả các cặp cặp có thể của hai số khác nhau từ $1$ đến $n$. Gọi $A(n), B(n)$ lần lượt là trung bình cộng và trung bình nhân của các ước số đó. 1) chứng minh rằng $A(n)< \ln n+1$ và tính $\lim A(n)$ 2) Chứng minh rằng $B(n) < e^3$. Bài 6. Chứng minh rằng với mọi dãy $a_1,a_2,...a_n$ ($n$ nguyên dương) ta luôn chọn được số tự nhiên $ k \le n$ sao cho $(a_1+a_2+...+a_k)-(a_{k+1}+...+a_n)| \le \max\{|a_1|,|a_2|...|a_n|\}$. Bài 7. Hai đường tròn tâm $O$ và $O'$ tiếp xúc trong với nhau tại $A$ ($(O')$ nằm trong $(O)$). Giả sử dây cung $BC$ của đường tròn $(O)$ cắt $(O')$ tại $M,N$ sao cho $MB=MC$ và $N$ trên đoạn $MB$. $AN$ cắt $(O)$ lần hai tại $E$. trên cung $BEC$ ta lấy điểm $K$ sao cho $OK$ đi qua $M$. Dây $AK$ cắt $BC$ tại $F$. Chứng minh rằng bốn điểm $E,F,M,K$ nằm trên một đường tròn. Bài 8. Giả sử ta có thể chọn được n số phân biệt từ tập ${1,2,3...2n-1}$ sao cho các số được chọn không có hai số nào chia hết cho nhau. Chứng minh rằng không có số nào trong các số trên nhỏ hơn $2^k$, k là số xác định bởi điều kiện $3^k < 2n<3^{k+1}$
