ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BẮC GIANG NĂM 2017 Câu 1 (4 điểm). Cho dãy số (un) được xác định như sau: \[{{u}_{1}}=\frac{2018}{2017};\;\frac{{{u}_{1}}}{1}+\frac{{{u}_{2}}}{2}+...+\frac{{{u}_{n}}}{n}=\frac{n+1}{2}{{u}_{n}},\quad n=2,3,...\] Tìm $\mathop {\lim }\limits_{n \to + \infty } \frac{{\left( {2017n + 2018} \right){u_n}}}{6}$. Câu 2 (4 điểm). Cho $a;\, b;\, c$ là các số thực dương thoả mãn $ab + bc + ca = 3abc$. Chứng minh rằng \[\sqrt{\frac{{{a}^{2}}+{{b}^{2}}}{a+b}}+\sqrt{\frac{{{b}^{2}}+{{c}^{2}}}{b+c}}+\sqrt{\frac{{{c}^{2}}+{{a}^{2}}}{c+a}}+3\le \sqrt{2}(\sqrt{a+b}+\sqrt{b+c}+\sqrt{c+a})\]. Câu 3 (5 điểm). Cho tam giác $ABC$ nhọn. Các đường cao $AD, BE, CF$ cắt nhau tại $H$. Gọi $I$ là hình chiếu của $D$ lên $EF$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $HAB$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ cắt nhau tại $P, Q$ ($P, C$ cùng phía so với $AD$). a) Chứng minh rằng $DI$ là đường phân giác của góc $\widehat{BIC}$. b) Chứng minh rằng $PH, DE$ cắt nhau trên đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABC$. Câu 4 (4 điểm). Cho hàm số $f:{{\mathbb{N}}^{*}}\to {{\mathbb{N}}^{*}}$ thoả mãn điều kiện i) với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ ta có $f(m) + f(n) > mn$. ii) Với mọi $m, n \in{{\mathbb{N}}^{*}}$ thì $f(m) + f(n) – mn$ là một ước của $mf(m) + nf(n)$. Chứng minh rằng tồn tại số nguyên dương $N$ sao cho với mọi số nguyên tố $p > N$ thì $f(p) = p^2$. Câu 5 (3 điểm). Cho bảng hình vuông gồm $m\times m$ ô vuông đơn vị. Trong mỗi ô vuông đơn vị chứa một số nguyên không âm. Giả sử rằng, nếu một hàng và một cột bất kì có giao là một ô vuông chứa số $0$ thì tổng các số trên hàng đó cộng với tổng các số trên cột đó không bé hơn $m$. Chứng minh rằng tổng các số trên bảng ô vuông đó lớn hơn hoặc bằng $\dfrac{{{m}^{2}}}{2}$.
