Đề thi chọn đội tuyển VMO tỉnh Bắc Ninh năm 2009

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪


    Câu 1
    1) Cho $a= 5^{2^{100}+100}$. Chứng minh số $a$ có ít nhất $25$ chữ số $0$ đứng liền nhau
    2) Chứng minh tồn tại vô số số tự nhiên $n$ mà $5^{n}$ có ít nhất $100$ chữ số $0$ đứng liền nhau
    Câu 2
    Tìm tất cả các hàm $f$ liên tục trên $R$ thỏa mãn $f(x)=f(1-cosx)$ với mọi $x$ thuộc $R$
    Câu 3
    Cho tam giác $ABC$ vuông cân tại $A. D, E, F$ lần lượt thuộc các cạnh $BC, CA, AB$ sao cho tam giác $DEF$ vuông cân tại $D$. Tìm tập hợp trung điểm $I$ của $EF$.
    Câu 4
    Tìm điều kiện của số dương $k$ sao cho với $a,b,c$ dương và $abc=1$ thì ta luôn có: $\sum \dfrac{1}{a^{k}(b+c)}\geq \dfrac{3}{2}$
    Câu 5
    Cho tập $S=\left \{ 1, 2,...,2009 \right \}$ gồm $2009$ số nguyên dương. $A$ là tập con có $n$ phần tử của $S$. Tìm $n$ nhỏ nhất sao với mọi cách chọn tập $A$ thì trong $A$ luôn có $2$ phần tử $a,b$ mà $\dfrac{a}{b}=3$