ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH BÌNH PHƯỚC NĂM 2014 Câu 1. Cho n là số nguyên dương và các số thực dương $x,y$ thỏa mãn $x^{n}+y^{n}=1$. Chứng minh rằng: $(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+x^{2k}}{1+x^{4k}}).(\sum_{k=1}^{n}\frac{1+y^{2k}}{1+y^{4k}})< \frac{1}{(1-x)(1-y)}$ Câu 2. Cho 4028 số thực $a_{1},a_{2},...,a_{2014},b_{1},b_{2},...,b_{2014}$. Xét dãy số $(x_{n})$ được xác định như sau: $x_{n}=\sum_{i=1}^{2014}\left [ a_{i}.n+b_{i} \right ],(n=1,2,...)$. Biết dãy số $(x_{n})$ lập thành một cấp số cộng. Chứng minh rằng $\sum_{i=1}^{2014}a_{i}$ là số nguyên ( với $\left [ a \right ]$ là phần nguyên của số thực $a$) Câu 3. Cho đa thức $P\left ( x \right )=x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_{1}x+a_{0},(n=1,2,...)$,$P\left ( x \right )\in \mathbb{Z}\left [ x \right ]$ với $a_{0}$ chẵn và $a_{n-k}+a_{k}$ chẵn, với mọi $k=1,2,...,n-1$. Giả sử $P(x)=Q(x).R(x)$ trong đó $Q(x),R(x)$ là các đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1, bậc của $Q(x)$ bé hơn hoặc bằng bậc của $R(x)$ và tất cả các hệ số của $R(x)$ là lẻ. Chứng minh rằng đa thức $P(x)$ có nghiệm nguyên. Câu 4. Cho tứ giác lồi $ABCD$ có các cặp cạnh đối không song song và hai đường chéo $AC$, $BD$ cắt nhau tại $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAB$ và $OCD$ cắt nhau tại $X$ và $O$. Các đường tròn ngoại tiếp các tam giác $OAD$ và $OBC$ cắt nhau tại $Y$ và $O$. Các đường tròn đường kính $AC$ và $BD$ cắt nhau tại $Z$ và $T$. Chứng minh rằng nếu $AC$ $\neq$ $BD$ thì bốn điểm $X,Y,Z,T$ cùng nằm trên một đường tròn. Câu 5. Tìm tất cả các bộ ba số nguyên dương $(x,y,z)$ thỏa mãn: $$(x+1)^{y+1}+1=(x+2)^{z+1}$$ Câu 6. Cho $2014$ thùng đừng trái cây, mỗi thùng có đầy đủ ba loại trái cây: Táo, Lê, Cam. Chứng minh rằng có thể chọn ra được $1008$ thùng sao cho: tổng số Táo, tổng số Lê, tổng số Cam trong $1008$ thùng này đều lớn hơn một nửa tống số táo, tổng số Lê, tổng số Cam tương ứng trong $2014$ thùng ban đầu.
