ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH CÀ MAU NĂM 2014 Câu 1: Giải phương trình: $\sqrt{3-2\sqrt{3-4sinx}}=2sinx$ Câu 2: Cho các số x, y thỏa mãn: $0<x\le 1,0<y\le 1$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $F=\frac{x^5+y+4}{x} +\frac{y^4-2y^3+x}{y^2}$ Câu 3: Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $u_1=1, u_{n+1}=3u_n+a, \forall n\in \mathbb{N}, n\ge 1$ và a là số nguyên tố. Xét dãy $(v_n): v_n=u_n+b, b\in \mathbb{N}$. Tìm a và b sao cho $(v_n)$ là một cấp số nhân. Từ đó tìm số hạng tổng quát của $(v_n)$. Câu 4: Cho đa thức $P(x)=x^4+ax+a, a\in \mathbb{R}$. Xác định a để P(x) có nghiệm thực và chứng minh rằng với $a\ge \frac{256}{27}$ thì nghiệm $x_0$ của P(x) thỏa mãn: $x_{0}^2 < 2a^2+1$. Cấu 5: Tổ $1$ gồm có $7$ người nam và $5$ người nữ. Trong $7$ người nam đó có tổ trưởng tên là $A$. Thầy chủ nhiệm phân công tổ $1$ trực nhật $6$ ngày trong tuần, mỗi người đều phải trực một ngày và mỗi ngày đều có hai người trực. 1) Có bao nhiêu cách phân công tổ $1$ trực nhật một tuần? 2) Một cách phân công trực nhật được gọi là cách phân công “tốt” nếu trong cách phân công đó có $A$ là người trực ngày đầu tiên và có đúng một ngày trong tuần cả hai người trực nhật đều là nam. Lấy ngẫu nhiên một cách phân công trực nhật, tìm xác suất lấy được cách phân công “tốt”. Câu 6: Cho tứ giác lồi $ABCD$ có diện tích bằng $S$. Tia $AB$ và tia $DC$ cắt nhau tại $E$. Dựng đường thẳng $d$ vuông góc với $BC$ tại $F$ sao cho $\Delta ADE$ nằm về một phía so với $d$. Các đoạn $HF$ và $FK$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của các hình $ABCD$ và $BCE$ trên đường thẳng $d$. Ký hiệu đường tròn ngoại tiếp $\Delta EAD$ là $(O_1;R_1)$; đường tròn ngoại tiếp $\Delta EBC$ là $(O_2;R_2)$. Biết diện tích $\Delta BCE$ bằng 2S. 1) Chứng minh rằng $\frac{FK}{HF}\le 2+\sqrt {6}$. 2) Chứng minh rằng: nếu $\frac{FK}{HF}=2+\sqrt{6}$ thì $(O_1;R_1)$ và $(O_2;R_2)$ tiếp xúc nhau. Khi đó tính $\frac{R_1}{R_2}$.
