ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐĂK LĂK NĂM 2014 Câu 1: (5đ) Tìm đa thức $P(x)$ có hệ số nguyên không âm và không lớn hơn $6$ thỏa mãn $P(7) = 102013$ Câu 2: (5đ) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} x+y+z=1\\\frac{1}{\sqrt{xy}} +\frac{1}{\sqrt{zy}} +\frac{1}{\sqrt{xz}} =9 \\10(x^{3}+y^{3}+z^{3})-9(x^{5}+y^{5}+z^{5}) =1 \end{matrix}\right.$ Câu 3: (5đ) Cho tứ giác $ABCD$ thay đổi nội tiếp đường tròn ( $O,R$ =$\sqrt{5}$) và hai đường chéo $AC, BD$ vuông góc với nhau tại I thỏa mãn $OI=1$. Gọi $S$ là diện tích tam giác $ICD$. Tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của $S$ Câu 4: (5đ) Cho $a, b, c$ là các số thực dương. Chứng minh rằng: $$\frac{(a+b-c)^{2}}{(a+b)^{2}+c^{2}}+\frac{(a+c-b)^{2}}{(a+c)^{2}+b^{2}}+\frac{(c+b-a)^{2}}{(c+b)^{2}+a^{2}}\geq \frac{3}{5}$$ Câu 5: (5đ) Cho dãy số ($x_{n}$) xác định: $\left\{\begin{matrix} x_{1}=\frac{-11}{8}\\ x_{n+1}=\frac{1}{8}x_{n}^{4}+\frac{1}{2}x^{3}_{n}-x_{n}-2 \end{matrix}\right.$ Tính $Lim x_{n}$ Câu 6:: (5đ) Giải phương trình: $\sqrt{x+4\sqrt{x+4\sqrt{x+....4\sqrt{x+4\sqrt{5x}}}}}=x$ ($n$ dâú căn $n >1$) Câu 7: (5đ) Cho $A_{1},A_{2},A_{3},....,A_{2014}$ là $2014$ điểm phân biệt trên mặt cầu bán kính bằng $1$. CM rằng tổng các bình phương khoảng cách giữa chúng không lớn hơn $2014^{2}$ Câu 8: (5đ) Ứng với mỗi đa thức $P(x)$ với hệ số thực có nhiều hơn một nghiệm thực $d(P)$ là khoảng cách nhỏ nhất giữa hai nghiệm thực bất kì của nó $d(P)=min\begin{Bmatrix} \begin{vmatrix} x_{i}-x_{j} \end{vmatrix} \end{Bmatrix}$ ( $x_{i},x_{j}$ là nghiệm của $P(x)$) và $P'(x)$ là đạo hàm của $P(x)$. Giả sử $P(x)$ và $P(x)$ + $P'(x)$ có bậc $3$ và có $3$ nghiệm thực phân biệt. Chứng minh rằng: $d( P+P') \geq d(P)$
