ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐỒNG NAI NĂM 2016 Câu 1. Cho dãy số $(u_n)$ xác định bởi: $$\left\{\begin{matrix} u_1\in(1;2)\\u_{n+1}=1+u_n-\dfrac{u_n^2}{2},\forall n=1,2,.. \end{matrix}\right.$$ Chứng minh rằng $u_n$ có giới hạn hữu hạn và tìm giới hạn đó. Câu 2. Cho các số thưc dương $a,b,c$ thỏa mãn $abc=1.$ Chứng minh rằng : $$\sqrt{\frac{a}{b+c}}+\sqrt{\frac{b}{a+c}}+\sqrt{\frac{c}{a+b}}\geq \frac{3\sqrt{3}}{\sqrt{a^3+b^3+c^3+3}}.$$ Câu 3. Cho tam giác nhọn $ABC( AB<AC).$ có $M$ là trung điểm cạnh $BC,$ ; các đường cao $AD,BE,CF.$ Gọi $H$ là trực tâm tam giác $ABC, K$ là trung điểm $AH,$ và $L$ là giao điểm $EF$ và $AH.$ Gọi $N$ là giao điểm của đoạn $AM$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCH.$ 1/ Chứng minh rằng $5$ điểm $A,E,N,H,F$ cùng thuộc 1 đường tròn. 2/ Chứng minh rằng $\widehat{HMA}=\widehat{LNK}.$ Câu 4. Có bao nhiêu hoán vị $(a_1,a_2,..,a_{10})$ của các số $1,2,3,..,10$ sao cho $a_i>a_{2i}$ với $1\leq i \leq 5$ và $a_j>a_{2j+1}$ với $1\leq i \leq 4$. Câu 5. Tìm tất cả các hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa mãn : $$f(x^2-2yf(x))+f(y^2)=f^2(x-y),\forall x,y\in\mathbb{R}$$ Câu 6. Gọi $O,I$ lần lượt là tâm đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp của tam giác $ABC$ không đều. Chứng minh rằng : $$\widehat{AIO}\leq 90^0\Leftrightarrow 2BC\leq AB+AC$$ Câu 7. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho : Với $n$ số nguyên dương $a_1,a_2,...,a_n$ đôi một khác nhau , luôn tồn tại hai chỉ số $i,j\in\begin{Bmatrix}1,2,3,..,n \end{Bmatrix}$ để $a_i+a_j\geq 2017(a_i,a_j)$ với $(a,b)$ là ước chung lớn nhất của hai số nguyên dương $a,b.$
