ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH ĐỒNG THÁP NĂM 2008 Câu 1: (3.0 điểm) Giải phương trình: $(1+tan1^0)(1+tan2^0)...(1+tan45^0)=2^x$ Câu 2: ( 3 điểm) Cho tam giác $ABC$ có các góc đều nhọn. Gọi $AH, BI, CK$ là các đường cao của tam giác. Chứng minh rằng: $\dfrac{S_{HIK}}{S_{ABC}}=1-cos^2A-cos^2B-cos^2C$. Câu 3: ( 2.0 điểm) Cho $a, b$ là hai số nguyên. Chứng minh rằng: $A=ab(a^2+b^2)(a^2-b^2)$ chia hết cho $30$. Câu 4: ( 3.0 điểm) Cho hàm số $ f: N* -> N*$ thoả hai điều kiện: $f(a.b)=f(a).f(b)$ với $a,b \in N*$ và $(a,b)=1$ $f(p+q)=f(p)+f(q)$ với $p, q$ nguyên tố. Chứng minh: $f(2008)=2008$. Câu 5: ( 3.0 điểm) Chứng minh nếu $n$ chẵn thì $2^n$ chia hết: $C_{2n}^0+3C_{2n}^2+...+3^kC_{2n}^{2k}+...+3^nC_{2n}^{2n}$. Câu 6: ( 3.0 điểm) Cho ba số thực $a, b, c$. Chứng minh rằng: $(a^2+1)(b^2+1)(c^2+1) \geq (ab+bc+ca-1)^2$. Câu 7: ( 3.0 điểm) Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$. Đường tròn © tiếp xúc với đường thẳng $AB, AC$ lần lượt tại $B$ và $C$. $M$ là điểm tuỳ ý nằm trên đường tròn $©$. Gọi $d_1, d_2,d_3$ lần lượt là các khoảng cách từ $M$ đến các đường thẳng $AB, AC, BC$. Chứng minh: $d_1.d_2=d_3^2$.
