ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH HOÀ BÌNH NĂM 2016 Câu 1: (4 điểm ) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix} \sqrt{y-3x+4}+\sqrt{y+5x+4}=4 & \\\ \sqrt{5y+3}-\sqrt{7x-2}=2x-1-4y\ \end{matrix}\right.$ Câu 2: (4 điểm ) Cho ($x_{n}$) được xác định như sau: $x_{o}>0 ; x_{n+1}=\frac{x_{n}}{1+x_{n}^{2}}$ Tìm lim $\sqrt{2n}x_{n}$ Câu 3 : (4 điểm ) Cho $a,b,c$ là các số dương thỏa mãn $abc = 1$ và $x,y,z$ thuộc $R$ Chứng Minh rằng : $x^{2}(a+b)+y^{2}(b+c)+z^{2}(c+a)\geq 2(xy+yz+zx)$ Câu 4 : ( 4 điểm ) Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp đường tròn $(O)$ và $P$ là một điểm nằm trên cung nhỏ $BC$. Tiếp tuyến tại $B,C$ cắt nhau tại $T$ . Đường thẳng qua $O$ và vuông góc với $PT$ cắt $CA , AB$ lần lượt tại $E,F$ . Hai đường thẳng $PE,PF$ cắt đường tròn $(O)$ lần lượt tại $M,N$ khác $P$. Lấy $K,L$ sao cho $\widehat{KAC}=\widehat{KNP}= \widehat{LAB}= \widehat{LMP}=90^{o}$ a) chứng minh rằng $\widehat{BQF}=\widehat{KAB}$ với Q là giao của $EF$ với $PT$ b) Chứng minh rằng $KB$ và $LC$ vắt nhau tại $1$ điểm thuộc $(O)$ Câu 5 : (4 điểm ) Xác định tất cả các hàm f : $R\rightarrow R$ thỏa mãn: $f([x]y)=f(x)[f(y)]$ với $[x]$ là số nguyên lớn nhất không vượt quá $x$ Câu 6: (5 điểm): Cho hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ cắt nhau tại $A,B$. $CD$ là tiếp tuyến chung của hai đường tròn $(O_{1})$ và $(O_{2})$ với $C$ thuộc $(O)$ , $D$ thuộc $(O)$ , và $B$ gần $CD$ hơn $A$ a) Gọi $E$ là giao điểm của $BC$ và $AD$ , $F$ là giao điểm của $DB$ và $AC$ , chứng minh rằng $EF$ song song với $CD$ b)Gọi $N$ là giao điểm của $AB$ và $EF$ , Lấy $K$ trên $CD$ sao cho $\widehat{BAC}=\widehat{DAK}$ . Chứng minh rằng $KE=KF$ Câu 7: (5 điểm): Cho đa thức $P(x)=x^4+ax^3+bx^2+cx+d$ và $Q(x)=x^2 +px+q$ cùng thuộc $\mathbb{Q}[x]$ . Biết rằng hai đa thức cùng nhận giá trị âm trên khoảng $I$ có độ dài lớn hơn hai và ngoài khoảng $I$ chúng đều nhận giá trị không âm . Chứng minh rằng tồn tại $x_{o}\in \mathbb{R}$ đề $P(x_{o})<Q(x_{o})$ Câu 8: (5 điểm): Cho dãy số $(x_{n})$ xác định bởi : $\left\{\begin{matrix} x_{o}=1\\ x_{1}=41\\ x_{n+2}= 3x_{n}+\sqrt{8(x_{n+1}^2+x_{n}^2)} \end{matrix}\right.$ Chứng minh rằng mọi số hạng của dãy đều là số nguyên Câu 9: (5 điểm): Cho tập hơp $A=({-1;0;1})$ , tìm số các bộ $(a_{1};a_{2};....;a_{n})$ với $n\in \mathbb{N}^{*}$ thỏa mãn: i) $a_{i}\in A ,\forall i=1,2,3,4,.....$ ii) $a_{i}-a_{i-1} \in A , \forall i=1,2,3,4....$
