ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH PHÚ THỌ NĂM 2016 Bài 1: Xét dãy số thực vô hạn $x_1,x_2,...,x_n$ thỏa mãn $|x_{m+n}-x_{m}-x_{n}| < \dfrac{1}{m+n}$ với mọi số nguyên dương $m,n$ Chứng minh rằng $(x_n)$ là cấp số cộng Bài 2: Cho tam giác $ABC$ ngoại tiếp $(I)$. Các cạnh $AB,AC$ tiếp xúc với $(I)$ tại $E,F$. Đường thằng qua $B$ song song với $AC$ cắt $EF$ tại $K$. $CK$ cắt $AB$ tại $G$. Chứng minh tam giác $AIG$ vuông Bài 3: Một hàng cây bưởi Đoan Hùng gồm $17$ cây thẳng hàng đánh số cây theo thứ tự là các số tự nhiên từ $1$ đến $17$. Ban đầu mỗi cây có một con đậu trên đó để hút mật hoa. Sau đó, cứ mỗi giờ có hai con ong nào đó bay sang hai cây bên cạnh để tìm và hút mật nhưng theo hai chiều ngược nhau. Hỏi sau giờ có hay không trường hợp mà a) Không có con ong ở cây có số thứ tự chẵn b) Có $9$ con ong ở cây cuối cùng Bài 4: Tìm tất cả các đa thức hệ số nguyên $P(x)$ khác đa thức không sao cho $10^n-3n-2016$ chia hết cho $P(n)$ với mọi số nguyên dương $n$ Bài 5: Tìm tất cả các đa thức $P(x)$ hệ số thực thỏa mãn $$(x^2-6x+8)P(x)-(x^2+2x)P(x-2)=6x^2-12x$$ Bài 6: Cho đường tròn $(O)$ và dây cung $AB$. Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ nằm về một phía đối với đường thẳng $AB$, Tiếp xúc với nhau tại $T$ đồng thời tiếp xúc trong với đường tròn $(O)$. Tiếp tuyến chung tại $T$ của $(O_1),(O_2)$ cắt đường tròn $(O)$ tại $C$ (Với $C$ thuộc nửa mặt phẳng bờ $AB$ chứa $(O_1),(O_2)$). Chứng minh rằng $T$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABC$ Bài 7: Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số cách chọn các dấu cộng, trừ trong biểu thức $E_n= \pm 1 \pm 2 \pm \dots \pm n$ sao cho $E_n=0$. Chứng minh rằng a) $f(n)=0$ khi $n \equiv 1,2 (mod 4)$ a) Khi $n \equiv 0,3 (mod 4)$ ta có $\dfrac{\sqrt{2^n}}{2} \leq f(n) \leq 2^n -2^{1+[\dfrac{n}{2}]}$
