ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH QUẢNG BÌNH NĂM 2016 Câu 1 : Cho $a$ là một số thực và dãy số thực $(x_{n})$ xác định bởi $$x_{n}=2016n+a.\sqrt[3]{n^{3}+1}$$ $a)$ Tìm $a$ sao cho dãy số $(x_{n})$ có giới hạn hữu hạn . $b)$ Tìm $a$ để dãy số là dãy tăng từ một lúc nào đó . Câu 2 : Cho đa thức $$f(x)=x^{2017}+ax^{2}+bx+c$$ Trong đó $a,b,c \in Z$ có ba nghiệm nguyên $x_{1},x_{2},x_{3}$ . Chứng minh rằng biểu thức sau là bội của $2017$ $$(a^{2017}+b^{2017}+c^{2017}+1)(x_{1}-x_{2})(x_{2}-x_{3})(x_{3}-x_{1})$$ Câu 3 : Cho tam giác nhọn $ABC$ đường cao $AH$ trực tâm $K$ . Đường thẳng $BK$ cắt đường tròn đường kính $AC$ tại $D,E ( BD < BE)$ . Đường thẳng $CK$ cắt đường tròn đường kính $AB$ tại $F,G ( CF < CG)$ . Đường tròn $(DHF)$ cắt $BC$ tại điểm thứ hai là $P$ . $a)$ Chứng minh các điểm $G,H,P,E$ thuộc một đường tròn. $b)$ Chứng minh rằng $BF,CD,PK$ đồng quy . Câu 4 : Cho số nguyên dương $n \geq 4$ . Tìm số lớn nhất các cặp gồm hai phần tử phân biệt của tập $X_{n} = \left \{ 1,2,..n \right \}$ sao cho tổng các cặp khác nhau là các số nguyên khác nhau và không vượt quá $n$ . Câu 5 : Cho $a,b,c$ là độ dài ba cạnh tam giác và $a \geq b \geq c$ . Chứng minh rằng $$\sqrt{a(a+b-\sqrt{ab})}+\sqrt{b(a+c-\sqrt{ac})}+\sqrt{c(c+b-\sqrt{bc})} \geq a+b+c$$ Câu 6 : Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân . $P$ là một điểm bất kì trên cạnh $BC$ và không trùng với $B,C$ . Đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABP$ cắt $AC$ tại $Y$ khác $A$ . Tương tự xác định $Z$ . Gọi $BY$ cắt $CZ$ tại $K$ . Gọi $T$ là hình chiếu của $A$ lên $BC$ , $H$ là trực tâm tam giác $ABC$ , $A'$ là điểm đối xứng của $A$ qua $BC$ . $a)$ Chứng minh $A',P,K$ thẳng hàng $b)$ Chứng minh khi $P$ di chuyển trên $BC$ , tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $AYZ$ luôn di chuyển trên một đường thẳng cố định . Câu 7 : Tìm tất cả hàm số $f : N^{*} \to N^{*}$ sao cho ba số $a,f(b),f(b+f(a)-1)$ luôn là độ dài ba cạnh của một tam giác với mọi $a,b \in N^{*}$
