ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH QUẢNG NAM NĂM 2014 Bài 1 (5đ) 1) Giải phương trình: $\sqrt[3]{7-16x}+2.\sqrt{2x+8}=5$ 2) Giải hệ phương trình: $\left\{\begin{matrix}y^3(4x^2+1)+2(y^2+1)\sqrt{y}=6 & \\ y^2x(2+2\sqrt{4x^2+1})=y+\sqrt{y^2+1} & \end{matrix}\right.$ Bài 2 (4đ) 1) Tìm nghiệm nguyên của phương trình $(x^2-4x+3)(x^2-2x)=4(y^2+2)$ 2) Cho tam giác vuông có độ dài các cạnh là các số nguyên, hai trong các số đó là số nguyên tố và hiệu của chúng bằng $8$. Tính giá trị nhỏ nhất của cạnh thứ ba nhận được. Bài 3 (5đ) 1) Trong mặt phẳng cho đường thẳng ($\Delta $) và đường tròn $(O,R)$ cố định với ($\Delta $) tiếp xúc với $(O)$ tại $A$, điểm $M$ di động ngoài đường tròn $(O)$ sao cho đường thẳng qua $M$ tiếp xúc $(O)$ tại $T$ và đoạn $MT$ bằng khoảng cách từ $M$ đến đường thẳng $(\Delta )$. Chứng minh rằng đường tròn tâm $M$ bán kính $MT$ luôn tiếp xúc với một đường tròn cố định 2) Cho tam giác $ABC$ thay đổi và có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn $(O,R)$ cố định. Gọi $A',B',C'$ lần lượt là giao điểm thứ hai của các đường cao vẽ từ các đỉnh $A,B,C$ với đường tròn $(O)$. Xác định độ dài các cạnh của tam giác $ABC$ sao cho diện tích lục giác $AB'CA'BC'$ lớn nhất Bài 4 (4đ) 1) Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi: $x_0=2$, $x_{n+1}=\frac{2x_n+1}{x_n+2}\forall n\in \mathbb{N}$. Tìm công thức tổng quát của $x_n$ và tìm $limx_n$ 2) Tìm $f(x)$ có đạo hàm trên khoảng $(\frac{-1}{3},\frac{1}{3})$ thỏa mãn: $f(x)+f(y)=f\left ( \frac{x+y}{1+9xy} \right )$ và $f'(0)=6$ Bài 5 (2đ) Cho ba số không âm $a,b,c$. Chứng minh rằng: $\sqrt{5a^2+4bc}+\sqrt{5b^2+4ca}+\sqrt{5c^2+4ab}\geq \sqrt{3(a^2+b^2+c^2)}+2(\sqrt{ab}+\sqrt{bc}+\sqrt{ca})$
