ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH THANH HOÁ NĂM 2008 Câu 1: (5 điểm) a) Giải bất phương trình: $$ 3^{x^2-4}+(x^2-4).3^{x-2} \ge 1$$ b) Xác định tất cả các hàm số $f(x): R \to R $ thoả mãn: $$f(x) =Max \left\{ {2xy - f(y)} \right\},\forall x,y \in R$$ Câu 2: (4 điểm) Cho A là một tập hợp gồm $8$ phần tử. Tìm số lớn nhất các tập con gồm $3$ phần tử của A sao cho giao của $2$ tập bất kì trong các tập con này không phải là một tập hợp gồm $2$ phần tử. Câu 3: (5 điểm) Cho hàm số: $f(x) = x^n + 29x^{n - 1} + 2009$ với $n \in ,n \ge 2$. Chứng minh rằng $f(x) $không thể phân tích thành tích của 2 đa thức hệ số nguyên có bậc lớn hơn hoặc bằng 1. Câu 4: (6 điểm) Cho tam giác $ABC, D$ là một điểm bất kì trên tia đối của tia $CB$. Đường tròn nội tiếp các tam giác $ABD$ và $ACD$ cắt nhau tại $P $và $Q$. Chứng minh rằng đường thằng $PQ$ luôn đi qua một điểm cố định khi $D$ thay đổi.
