ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH THỪA THIÊN HUẾ NĂM 2014 Câu 1: Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $ab+bc+ca=1$. Chứng minh rằng: $$\sum \frac{a^{3}}{1+9b^{2}ac}\geq \frac{(a+b+c)^{^{3}}}{18}$$ Câu 2: Tìm tất cả hàm $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ thỏa: $$f(x^{3})+f(y^{3})=(x+y)(f(x^{2})+f(y^{2})-f(xy))$$ Bài 3: Cho dãy số $u_{n}$ xác định: $\left\{\begin{matrix}u_{1}=1 \\ u_{n+1}=5u_{n}+\sqrt{ku_{n}^{2}-8} \end{matrix}\right.$ Tìm $k$ nguyên dương sao cho mọi số hạng của dãy $u_{n}$ đều là số nguyên. Bài 4: Cho $ABC$ là tam giác nhọn có trực tâm $H$ và chân các đường cao vẽ từ $B,C$ theo thứ tự $M,N$. Gọi $P$ là điểm tùy ý trên cạnh $BC$, $X$ là điểm đối xứng của $P$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $BPN$, $Y$ là điểm đối xứng của $P$ qua tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $CPM$. Chứng minh rằng $H,X,Y$ thẳng Hàng. Bài 5: Gọi $N$ là số nguyên lớn hơn số nguyên tó thứ $2015$, Chứng minh rằng tồn tại $1$ dãy gồm $N$ số nguyên dương liên tiếp chứa đúng $2014$ số nguyên tố. Bài 6: Tìm tất cả các đa thức $P(x)\epsilon \mathbb{R}$ với hệ số thực sao cho đa thức sau là hằng số: $$(x+1)P(x-1) - (x-1)P(x)$$ Bài 7: Cho tam giác $ABC$ có $D$ là trung điểm $BC$. Giả sử $\widehat{DAB} = \widehat{BCA}; \widehat{DAC} = 15^{\circ}$. Chứng minh rằng góc $ADC$ tù. Hơn nữa nếu $O$ là tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác $ADC$, Chứng minh rằng $AOD$ là tam giác đều. Bài 8: Cho $a,b$ là 2 số nguyên dương; $g,l$ lần lượt là ước chung lớn nhất và bội chung nhỏ nhất của $a,b$. a) Chứng minh rằng: $g+l\leq ab+1$. Dấu $"="$ xảy khi nào. b) Giả sử $ab>2$ và $g+l$ chia hết $a+b$. Chứng minh rằng lúc đó thưng của chúng không vượt quá $\frac{a+b}{4}$.
