ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TỈNH YÊN BÁI NĂM 2014 Câu 1 Giải hệ phương trình: $$\left\{\begin{matrix} 11+\sqrt{3-x}+3y\sqrt{2-y}=8\sqrt{2-y}+3x\sqrt{3-x} & \\ \sqrt{x+2}+\sqrt{2-y}=x^3+y^2-2y-4 & \end{matrix}\right.$$ Câu 2 Cho dãy số $(x_n)$ xác định bởi $$\left\{\begin{matrix} x_1=\frac{1}{4} & \\ x_{n+1}=\frac{x_n}{1+2x_n+2\sqrt{x_n^2+2x_n}}, \forall n \in \mathbb{R} & \end{matrix}\right.$$ Đặt $y_n=\sum_{n}^{k=1}x_k$. Tìm $\lim y_n$ Câu 3 Cho điểm $P$ nằm ngoài đường tròn $(O)$. Từ P kẻ 2 tiếp tuyến $PA, PB$ với $(O)$ (A và B là các tiếp điểm). Trên cung $AB$ nhỏ lấy điểm $C$ sao cho $(CA > CB$. Giả sử $AC$ cắt $PB$ tại $D$, $BC$ cắt $PA$ tại $E$. Chứng minh rằng tâm của 3 đường tròn ngoại tiếp các tam giác $ACE, BCD, PCO$ thẳng hàng. Câu 4 Tìm tất cả các cặp số nguyên dương $(x;y)$ thỏa mãn $2^x-y^2-2y+64=0$ Câu 5 Cho 10 số nguyên dương $a_1, a_2,..... a_10$. Chứng minh rằng tồn tại các số $x_i \in \begin{bmatrix} -1;0;1 \end{bmatrix}$ không đồng thời bằng không với $i=1,2,....,10$ sao cho số $\sum_{i=1}^{10}x_ia_i \vdots 1023$
