ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. CẦN THƠ NĂM 2014 Bài 1: Giải hệ phương trình: $$\begin{cases}\sqrt{x^2+xy+2y^2}+\sqrt{y^2+xy+2x^ 2}=2(x+y)\\ (8y-6)\sqrt{x-1}=(2+\sqrt{x+2})(y+4\sqrt{y-2}+3)\end{cases}.$$ Bài 2: Cho $2014$ số thực dương $a_1,a_2,...,a_{2014}$ có tổng bằng $2014$. Chứng minh rằng: $$\frac{a_1^{20}}{a_2^{11}}+\frac{a_2^{20}}{a_3^{1 1}}+...+\frac{a_{2014}^{20}}{a_1^{11}}\geq 2014.$$ Bài 3: Cho dãy số $(u_n)$ được xác định bởi $u_0>0$ và $$u_n=\frac{9}{10}u_{n-1}+\frac{1007}{5u_{n-1}^9},\forall n\geq 1.$$ Chứng minh dãy số có giới hạn và tìm giới hạn đó. Bài 4: Tìm tất cả các hàm số liên tục $f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ thỏa $$6f(8x)-5f(4x)+f(2x)=60420x,\forall x\in\mathbb{R}.$$ Bài 5: Tìm tất cả các nghiệm nguyên dương của phương trình $x^2+y^2+z^2=x^2y^2z^2.$ Bài 6: Cho tam giác $ABC$ cân tại $A$ có $H,M$ lần lượt là trung điểm của $BC,AC$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BCM$ cắt đoạn $AH$ tại $D$ và đường tròn ngoại tiếp tam giác $ABD$ cắt đoạn $BM$ tại $K$. Gọi $I$ là giao điểm của $AK$ và $BD$, $E$ là giao điểm của $CI$ với $BM$. Chứng minh: Tam giác $AKC$ vuông. $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABE$.
