ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. ĐÀ NẴNG NĂM 2014 Bài 1 (5đ): Tìm công thức tính số hạng tổng quát của dãy số $(x_n)$ biết: $x_1=\frac{2013}{2014}$,$x_{n+1}=\frac{1}{4+2011x_n}$ (với mọi $n>0$). Chứng minh dãy số $(x_n)$ có giới hạn hữu hạn. Tìm giới hạn đó Bài 2 (5đ): Tìm tất cả các hàm số $f: \mathbb{Z} \to \mathbb{R}$ sao cho $f(0)\neq 0$,$f(1)=6$ và $$f(x)f(y)=f(x+y)+f(x-y) \text{ với mọi } x,y\in \mathbb{Z}$$ Bài 3 (5đ): Cho hai đường tròn $(C_1)$ và $(C_2)$ cắt nhau tại hai điểm phân biệt C,D sao cho tâm O của $(C_2)$ nằm trên $(C_1)$. Gọi $A$ là điểm trên $(C_1)$ và $B$ là điểm nằm trên $(C_2)$ sao cho đường thẳng $AC$ tiếp xúc với $(C_2)$ tại $C$ và đường thẳng BC tiếp xúc với $(C_1)$ tại $C$. Đường thẳng $AB$ cắt lại $(C_2)$ tại $E$ và cắt $(C_1)$ tại $F$. Gọi $G$ là giao điểm thứ hai của đường thẳng $CE$ và $(C_1)$. Hai đường thẳng $CF$ và $GD$ cắt nhau tại $H$. Chứng minh rằng giao điểm của $GO$ và $EH$ là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác $DEF$ Bài 4 (5đ): Tại một hội nghị quốc tế, các thành viên tham dự đều biết ít nhất một trong ba thứ tiếng: Anh, Pháp, Đức. Biết rằng số thành viên biết Tiếng Anh, số thành viên biết Tiếng Pháp và số thành viên biết Tiếng Đức cùng bằng $50$. Chứng minh rằng có thể chia tất cả các thành viên tham dự hội nghị thành $5$ nhóm sao cho trong mỗi nhóm có đúng $10$ thành viên biết tiếng Anh, đúng $10$ thành viên biết tiếng Pháp và đúng $10$ thành viên biết tiếng Đức. Bài 5 (7đ): Cho tam giác $ABC$ nhọn không cân có $O$ là tâm ngoại tiếp. Gọi $P$ là một điểm nằm trong tam giác sao cho $AP$ vuông góc với $BC$. Đường trung trực của đoạn $AP$ cắt $AC$ tại $M$. Đường trung trực của đoạn thẳng $MC$ cắt $BC$ tại $N$, các đường thẳng $AO$ và $MN$ cắt nhau tại $K$. Gọi $D$ là điểm đối xứng của $O$ qua $BC$ a) Chứng minh rằng đường thẳng $AD$ đi qua trung điểm $Q$ của đoạn thẳng $PK$. b) Gọi $E$ và $F$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của $P$ lên $CA$ và $AB$. Chứng minh rằng đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ đi qua $Q$. c) Gọi $I$ là trung điểm của đoạn thẳng $BC$. Đường trung trực của đoạn thẳng $EF$ cắt đường thẳng $AI$ tại $T$. Chứng minh $KT$ vuông góc $BC$ Bài 6 (7đ): Với mỗi số nguyên dương $n$, gọi $f(n)$ là số cách thay các dấu $"\pm "$ trong biểu thức $\pm 1\pm 2\pm 3...\pm n$ bởi các dấu $"+"$ hoặc $"-"$ sao cho tổng đại số nhận được bằng $0$. Chứng minh rằng: a) $f(n)=0$ khi $n\equiv 1 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 2 (mod 4)$ b)$2^{\frac{n}{2}-1}\leq f(n)<2^n-2^{\left [ \frac{n}{2} \right ]+1}$ khi $n\equiv 0 (mod 4)$ hoặc $n\equiv 3$ $(mod 4)$ Bài 7 (6đ): Các ô vuông của một bảng vuông kích thước $10 \times 10$ được tô bởi các màu trắng hoặc đen sao cho trên mỗi hàng cũng như trên mỗi cột đều có đúng 3 ô được tô màu đen. Chứng minh rằng trong mọi cách tô như vậy ta luôn có thể tìm ra 10 ô được tô màu đen sao cho không có hai ô nào nằm trên cùng một hàng hay trên cùng một hàng cột.
