ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. ĐÀ NẴNG NĂM 2015 Bài 1: (5 điểm) Giả sử $x_{1},x_{2},x_{3}...x_{2015}$ là 2015 số thực thuộc đoạn $[-1,1]$ mà $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}^{3}=0$ 1) Chứng minh rằng: $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}< 672$ 2) Tìm giá trị lớn nhất của $\sum_{i=1}^{2015}x_{i}$ Bài 2: (5 điểm) Giả sử $a_{1},a_{2},a_{3}...a_{2016}$ là 1 dãy số nguyên thỏa mãn điều kiện: $a_{m}+a_{n}\leq a_{m+n}\leq a_{m}+a_{n}+1$ với mọi cặp số nguyên dương m,n mà $m+n\leq 2016$. Chứng minh rằng tồn tại số thực x sao cho $a_{n}=[nx]$ với mỗi $n\in \left \{ 1,2,..,2016 \right \}$ Bài 3: (5 điểm) Cho tam giác nhọn, không cân $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn $(O)$. Đường phân giác góc $A$ của tam giác cắt cạnh $BC$ tại $D$ và cắt lại đtròn $(O)$ tại $E$. Gọi $K$ là điểm nằm trong mặt phẳng chứa $\Delta ABC$, thỏa mãn các điều kiện $KB = KC$ và $\widehat{BKC}+\widehat{BAC}=180^{\circ}$. Giả sử $K$ nằm trong $\Delta ABC$ 1) Chứng minh rằng bốn điểm $A,O,K,D$ cùng thuộc $1$ đường tròn, kí hiệu là $(P)$. 2) Gọi $L$ là giao điểm thứ $2$ của $(P)$ và $(O)$. Chứng minh $\widehat{LAB}=\widehat{KAC}$ 3) Gọi $G$ là giao điểm của $AL$ và $BC$; $I$ là tâm đường tròn nội tiếp $\Delta ABC$; $M$ là trung điểm của đoạn $GI, N$ là giao điểm thứ $2$ của đường thẳng $EM$ và đường tròn $(O)$. Chứng minh rằng các đường thẳng $NI, AK$ cắt nhau tại $1$ điểm thuộc $(O)$. Bài 4: (5 điểm) Có một số bi màu xanh, một số bi màu đỏ, một số bi màu trắng được đặt sẵn trong một cái hộp. Một người chơi được cung cấp đủ lượng bi thuộc cả $3$ loại màu xanh, đỏ , trắng và tại mỗi lượt người chơi sẽ lấy từ hộp ra $2$ viên bi rồi thực hiện tiếp trò chơi theo luật như sau: * Nếu $2$ viên bi được lấy ra có màu khác nhau thì người chơi phải bỏ vào hộp $1$ viên bi khác màu với $2$ viên đó (cụ thể: nếu đã lấy ra $1$ bi xanh, $1$ bi đỏ thì phải bỏ vào hộp $1$ viên bi trắng, nếu đã lấy ra $1$ bi đỏ, $1$ bi trắng thì phải bỏ vào hộp $1$ viên bi xanh, nếu đã lấy ra $1$ bi trắng, $1$ bi xanh thì phải bỏ vào hộp $1$ viên bi đỏ). * Nếu $2$ viên bi được lấy ra cùng màu với nhau thì người chơi ko phải bỏ lại vào hộp viên bi nào cả. Và cứ như thế cuộc chơi chỉ dừng lại khi trong hộp hết bi hoặc chỉ còn $1$ viên bi. Chứng minh rằng kết quả cuối cùng của cuộc chơi ko phụ thuộc vào cách lấy bi của người chơi (cho dù người chơi được phép nhìn vào hộp). Bài 5: (7 điểm) Cho $\Delta ABC$ nội tiếp đtròn $(O,R)$ và ngoại tiếp đtròn $(I.r)$, $O\neq I$. Một đtròn $\omega$ đi qua $A$ và tiếp xúc với đường thẳng $OI$ tại $I$. Đường thẳng $AO$ cắt đtròn $\omega$ tại $G$. Đường thẳng đi qua $I$ và vuông góc với $BC$ cắt lại đtròn $\omega$ tại $K$. Gọi $L$ là điểm đối xứng với $K$ qua $A$. 1) Chứng minh rằng $AG=2r$. 2) Giả sử $2$ điểm $B,C$ cố định. Khi $A$ di chuyển trên đtròn $(O)$, chứng minh rằng $LI$ luôn đi qua một điểm cố định. Bài 6: (7 điểm) Cho $P(t)$ là $1$ đa thức với hệ số thực (của một biến số $t$) thảo $P(1)=P(-1)$. Chứng minh rằng có một đa thức $Q(x,y)$ với hệ số thực (của $2$ biến số $x,y$) sao cho $P(t)=Q(t^{2}-1,t(t^{2} -1))$ với mọi giá trị của $t$. Bài 7: (6 điểm) Cho số tự nhiên $n>2$ và tập $S$ gồm $n$ điểm nằm trên một đtròn. Tìm số lớn nhất có thể có các tam giác nhọn mà cả $3$ đỉnh đều thuộc $S$.
