ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. ĐÀ NẴNG NĂM 2016 Bài 1. Cho dãy số Fibônaci xác định như sau: $u_1=u_2=1;u_n=u_{n-1}+u_{n-2} (n=3,4,...).$ Chứng minh rằng với mọi số nguyên tố $p \geq 7$ thì có đúng một trong hai số $u_{p-1},u_{p+1}$ là bội của $p.$ Bài 2. Tìm số nguyên dương $n$ nhỏ nhất sao cho tồn tại đa thức $f(x)$ bậc $n$ có hệ số nguyên thỏa mãn: $f(0)=0,f(1)=1$ và với mọi $m \in \mathbb{N^*},f(m)(f(m)-1)$ là bội của $2017$. Bài 3. Cho tam giác $ABC$ nhọn nội tiếp $(O),H$ là trực tâm tam giác. Đường thẳng qua $A$ vuông góc $OH$ cắt $BC$ tại $D.$ $K.L$ là tâm $(ADB),(ADC).$ a. Chứng minh $A,K,L,O$ thuộc một đường tròn gọi là $(S).$ b. $AH$ cắt lại $(S)$ tại $E.F$ đối xứng với $E$ qua $BC.$ Chứng minh $HA=HF.$ Bài 4. Trong mặt phẳng cho $n \geq 2$ đường thẳng đôi một cắt nhau và không có ba đường nào đồng quy. Các đường này chia mặt phẳng thành các miền hữu hạn và vô hạn. Chứng minh ta có thể đánh dấu các miền đó bằng các số nguyên thỏa mãn cả ba điều kiện sau: (i) Các số đó khác $0.$ (ii) Trị tuyệt đối của mỗi số không lớn hơn $n.$ (iii) Mỗi đường thẳng đã cho sẽ phân mặt phẳng làm hai phần mà tổng các số của mọi miền thuộc mỗi phần sẽ bằng $0.$ Bài 5. Chứng minh rằng với mọi $m \in \mathbb{N},$ tồn tại đa thức $f_{m}(x)$ có hệ số hữu tỉ thỏa mãn với mọi $n \in \mathbb{N^*}$ thì: $1^{2m+1}+2^{2m+1}+...+n^{2m+1}=f_{m}(n(n+1)).$ Bài 6. Cho tứ giác $ABCD$ lồi, $P$ là điểm nằm bên trong tứ giác thỏa $\widehat{PAD}=\widehat{CAB}.M,N$ đối xứng $C$ qua $AB,AD.$ $(CPM),(CPN)$ cắt đoạn $AB,AD$ tại $S,T.X,Y$ tâm $(PSC),(PTC).Q$ là giao của $XY$ và trung trực $AP.$ a. Chứng minh $AQ$ là tiếp tuyến $AXY.$ b. Tiếp tuyến tại $P,C$ của $(PST),(CST)$ cắt nhau ở $G.(PST),(CST)$ cắt lại $AP,AC$ ở $U,V.$ Chứng minh tâm $(AUV)$ thuộc $AG.$ Bài 7. Cho bảng ô vuông $2017 \times 2017$, người ta điền vào mỗi ô của bảng một số nguyên từ $1$ đến $2017^{2}$ sao cho mỗi số được điền vào bảng đúng một lần. a. Chứng minh tồn tại hai số cạnh nhau trong bảng (tức thuộc hai ô chung cạnh) có hiệu không nhỏ hơn $2017$. b. Tìm $k \in \mathbb{N^*}$ nhỏ nhất sao cho tồn tại một cách điền để hiệu hai số cạnh nhau bất kì trong bảng đều không lớn hơn $k.$
