ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TP. HÀ NỘI NĂM 2014 Bài 1: (2 điểm) Xác định tất cả các số tự nhiên $n$ sao cho tồn tại số tự nhiên $m$ để $m^2+9$ chia hết cho $2^n-1$ Bài 2: (4 điểm) Tìm tất cả các hàm số $f:\mathbb{R}^*\to \mathbb{R}^*$ thỏa mãn: $$f(xf(y)).f(y)=f(x+y)\; \forall x>0,\forall y>0$$ ($\mathbb{R}^+$ là tập các số thực dương). Bài 3: (3 điểm) Với $a,b,c$ là các số thực dương thỏa $a^2+b^2+c^2=2ab+2bc+2ac$, tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức $$P=a+b+c+\frac{1}{abc}-\frac{9}{a+b+c}.$$ Bài 4: (4 điểm) Cho tứ giác $ABCD$ nội tiếp đường tròn $(O)$ thỏa mãn $AB<BD$ và $CA=CD.$ Gọi $E$ là trung điểm của $AD$ và $I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ABD$. Đường tròn ngoại tiếp tam giác $BIC$ cắt $AB$ tại $F$ ($F$ khác $A,F$ khác $B$). Chứng minh rằng các đường thẳng $AI$ và $EF$ vuông góc với nhau. Bài 5: (4 điểm) Cho dãy $(u_n)$ xác định bởi $$u_1=2015;u_{n+1}=u_n^2-2014u_n+2014 \; \forall n\in \mathbb{N}$$ Chứng minh với mọi $n$ nguyên dương các số $u_1,u_2,...u_n$ đôi một nguyên tố cùng nhau. Bài 6 (3 điểm) Cho tập hợp $M=\{-1;0;1\}$. Tìm các bộ số $(a_1;a_2;...;a_{2014})$ thỏa mãn điều kiện $a_i\in M\forall i=\overline{1,2014}$ và $a_i-a_{i+1}\in M \; \forall i=\overline{1,2013}$
