ĐỀ THI CHỌN ĐỘI TUYỂN VMO TRƯỜNG PTNK NĂM 2016 Bài 1 : Với mỗi số nguyên dương $n$ ,tồn tại duy nhất số tự nhiên $a$ thỏa mãn $a^2 \le n<(a+1)^2$ Đặt $\Delta_n=n-a^2$ a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Delta_n$ khi $n$ thay đổi và luôn thỏa $n=15m^2$ với $m$ là số nguyên dương b) Cho $p,q$ là các số nguyên dương và $d=5(4p+3)q^2$. Chứng minh $\Delta_d \ge 5$ Bài 2 : Với các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa $1 \le a<b<c<d$, kí hiệu $T(a,b,c,d)=\{{x,y,z,t} \subset N /1 \le x<y<z<t,x \le a,y \le b,z \le c,t \le d \}$ a) Tính số phần tử của $T(1,4,6,7)$ b) Cho $a=1$ và $b \ge 4$. Gọi $d_1$ là số phần tử của $T(a,b,c,d)$ chứa $1$ và không chứa $2$,$d_2$ là số phần tử chứa $1,2$ nhưng không chứa $3$,$d_3$ là số phần tử chứa $1,2,3$ nhưng không chứa $4$ Chứng tỏ $d_1 \ge 2d_2-d_3$. Dấu $=$ xảy ra khi nào? Bài 3 : Trong một hệ thống máy tính ,một máy tính bất kì có thể kết nối trực tiếp với ít nhất $30$% máy tính khác của hệ thống.Hệ thống này có một chương trình ngăn chặn và cảnh báo khá tốt,do đó khi một máy tính bị virus,nó chỉ đủ thời gian lây virus cho các máy tính được kết nối trực tiếp với nó . Chứng minh rằng dù vậy ,kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính của hệ thống mà nểu thả virus vào hai máy đó ,ít nhất $50$% máy tính của hệ thống sẽ bị nhiễm virus. Bài 4 : Cho tam giác nhọn $ABC$,đường tròn $(I)$ có tâm $I$ thuộc cạnh $BC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ . Lấy $M,N$ bên trong tứ giác $BCEF$ sao cho $EFNM$ nội tiếp $(I)$ và các đường thẳng $MN,EF,BC$ đồng quy . $MF$ cắt $NE$ tại $P$,$AP$ cắt $BC$ tại $D$ a) Chứng minh $A,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn b) Trên đường thẳng $BN,CM$ lấy các điểm $H,K$ sao cho $\widehat{ACH}=\widehat{ABK}=90^{o}$. Lấy $T$ là trung điểm $HK$ . Chứng minh $TB=TC$ Bài 5 : Với mỗi số nguyên dương $n$ ,tồn tại duy nhất số tự nhiên $a$ thỏa mãn $a^2 \le n<(a+1)^2$ Đặt $\Delta_n=n-a^2$ a) Tìm giá trị nhỏ nhất của $\Delta_n$ khi $n$ thay đổi và luôn thỏa $n=15m^2$ với $m$ là số nguyên dương b) Cho $p,q$ là các số nguyên dương và $d=5(4p+3)q^2$. Chứng minh $\Delta_d \ge 5$ Bài 6 : Với các số nguyên $a,b,c,d$ thỏa $1 \le a<b<c<d$, kí hiệu $T(a,b,c,d)=\{{x,y,z,t} \subset N /1 \le x<y<z<t,x \le a,y \le b,z \le c,t \le d \}$ a) Tính số phần tử của $T(1,4,6,7)$ b) Cho $a=1$ và $b \ge 4$. Gọi $d_1$ là số phần tử của $T(a,b,c,d)$ chứa $1$ và không chứa $2$,$d_2$ là số phần tử chứa $1,2$ nhưng không chứa $3$,$d_3$ là số phần tử chứa $1,2,3$ nhưng không chứa $4$ Chứng tỏ $d_1 \ge 2d_2-d_3$. Dấu $=$ xảy ra khi nào ? Bài 7 : Trong một hệ thống máy tính ,một máy tính bất kì có thể kết nối trực tiếp với ít nhất $30$% máy tính khác của hệ thống.Hệ thống này có một chương trình ngăn chặn và cảnh báo khá tốt,do đó khi một máy tính bị virus,nó chỉ đủ thời gian lây virus cho các máy tính được kết nối trực tiếp với nó . Chứng minh rằng dù vậy ,kẻ tấn công vẫn có thể chọn hai máy tính của hệ thống mà nểu thả virus vào hai máy đó ,ít nhất $50$% máy tính của hệ thống sẽ bị nhiễm virus Bài 8 : Cho tam giác nhọn $ABC$,đường tròn $(I)$ có tâm $I$ thuộc cạnh $BC$ và tiếp xúc với các cạnh $AB,AC$ lần lượt tại $E,F$ . Lấy $M,N$ bên trong tứ giác $BCEF$ sao cho $EFNM$ nội tiếp $(I)$ và các đường thẳng $MN,EF,BC$ đồng quy . $MF$ cắt $NE$ tại $P$,$AP$ cắt $BC$ tại $D$ a) Chứng minh $A,D,E,F$ cùng thuộc một đường tròn. b) Trên đường thẳng $BN,CM$ lấy các điểm $H,K$ sao cho $\widehat{ACH}=\widehat{ABK}=90^{o}$. Lấy $T$ là trung điểm $HK$ . Chứng minh $TB=TC$
