Đề thi chọn HSG lớp 10 chuyên ĐHSP - Hà Nội năm 2011

  1. Tác giả: LTTK CTV
    Đánh giá: ✪ ✪ ✪ ✪ ✪

    ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN ĐHSP HÀ NỘI NĂM 2011

    Bài 1: Giải hệ phương trình sau:

    $$\left\{ \begin{array}{l}
    {x^2} + {y^2} = 1\\
    21x + 3y + 48{x^2} - 48{y^2} + 28xy = 69
    \end{array} \right.$$

    Bài 2:
    Cho $a_1, a_2,..., a_n$ là $n$ số nguyên dương đôi một phân biệt. Chứng minh rằng:
    $$\frac{a_1^2+a_2^2+...+a_n^2}{a_1+a_2+...+a_n} \geq \frac{1^2+2^2+...+n^2}{1+2+...+n}.$$

    Bài 3:
    Cho tam giác $ABC, I$ là tâm đường tròn nội tiếp tam giác. $(I)$ tiếp xúc với $AB, AC$ tại $C_1, B_1; C_2,B_2$ lần lượt thuộc $AB,AC$ sao cho $AB_2=CB_1; AC_2=BC_1. B_3,C_3$ lần lượt là trung điểm của $BB_2, CC_2$. Chứng minh: $AI$ vuông góc với $ B_3C_3$.

    Bài 4: Cho $2010$ số $0$, $2011$ số $1$, $2012$ số $2$. Thực hiện thuật toán sau: Mỗi lần cho xóa đi hai số khác nhau và ghi vào bảng một trong ba số $0; 1; 2$ sao cho số được ghi khác với hai số vừa bị xóa. Hỏi sau một hữu hạn bước ta được số cuối cùng còn lại là số nào?

    Bài 5. Cho $x,y,z$ là ba số thực không âm thỏa mãn $x+y+z=3$. Chứng minh rằng $$\sqrt{3-xy}+ \sqrt{3-yz}+\sqrt{3-xz} \ge 3 \sqrt{2}$$

    Bài 6. Một số nguyên dương được gọi là tốt nếu nó có thể biểu diễn được dưới dạng $p^n-1$, trong đó $p$ là một số nguyên tố và $n$ là một số nguyên dương. Xác định tất cả các số nguyên dương $k$ vừa là số chẵn, vừa là tốt và đồng thời thỏa mãn tính chất: mọi ước nguyên dương của $k$ cũng là tốt.

    Bài 7. Cho $\triangle ABC$ có $\widehat{BAC}=30^o.$ $BX,BY$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ABC$; $CZ,CT$ theo thứ tự là phân giác trong và phân giác ngoài của góc $ACB$. Chứng minh rằng các đường tròn đường kính $BC,XY,ZT$ cùng đi qua một điểm.

    Bài 8. Trên bàn cờ Châu Âu $8 \times 8$ người ta viết mỗi ô một số khác nhau từ số $1$ đến số $64$. Chứng minh rằng luôn tìm được một ô trắng và một ô đen sao cho hiệu hai số được ghi trên đó không nhỏ hơn $31.$