ĐỀ THI CHỌN HSG LỚP 10 CHUYÊN LÊ QUÝ ĐÔN - ĐÀ NẴNG NĂM 2011 Câu 1: (4 điểm) Giải phương trình trên tập số thực: 1. $\sqrt[3]{81x-8}=x^3-2x^2+\dfrac{4}{3}x-2$ 2. $8x^3+24x^2+6x-10-3\sqrt{6}=0$ Câu 2: (4 điểm) Tìm tất cả các số tự nhiên $n \geq 3$ sao cho: $2^{2000}$ chia hết cho $1+C_n^1+C_n^2+C_n^3$ Câu 3: (4 điểm) Vẽ bên ngoài $\vartriangle ABC$ các hình chữ nhật $BCNM$, $ACPQ$, $ABLK$ sao cho $\dfrac{AK}{AB}=\dfrac{BM}{BC}=\dfrac{CP}{CA}$. Gọi $A',B',C'$ tương ứng là trung điểm của $KQ,LM,NP$. a. Chứng minh: $AA',BB',CC'$ đồng quy tại $M$ b. CM: $$\max \left( {\dfrac{2MA}{BC};\dfrac{3MB}{CA};\dfrac{4MC}{AB}} \right) \geq \dfrac{2\sqrt{6}}{3}$$ Câu 4: (4 điểm) Cho các số thực dương $x,y,z$. Chứng minh: $$(x^2+2)(y^2+2)(z^2+2) \geq 3(x+y+z)^2+(xyz-1)^2$$ Câu 5: (4 điểm) Xét tập hợp $A$ gồm các số $2011, 2012, 2013, 2014, 2015$, trong đó, mỗi số lặp lại vô hạn lần. Chứng minh với mọi cách chia $A$ thành $2$ tập con sao cho trong đó, một tập con có $3$ số hạng là $a,b,c$ thỏa mãn $a+b \equiv c $ $(\bmod 67)$ Câu 6: (4 điểm) Giải hệ phương trình: \[\left\{ \begin{array}{l} \sqrt {1 + \sqrt {1 - {x^2}} } = x\left( {1 + 2\sqrt {1 - {y^2}} } \right) \\ \frac{1}{{\sqrt {1 + x} }} + \frac{1}{{\sqrt {1 + y} }} = \frac{2}{{\sqrt {1 + \sqrt {xy} } }} \\ \end{array} \right.\] Câu 7: (4 điểm) Cho đa thức có hệ số nguyên dương $P\left( x \right) = \sum\limits_{i = 0}^m {{a_i}{x^i}}$, với $m \geq 2; n\in \mathbb{N}^*; n>1$ sao cho $(a_1;n)=1$ và $a_2;a_3;...;a_m$ chia hết cho mọi ước nguyên tố của $n$. Phương trình $P(x)-yn^{2012}=0$ có nghiệm $(x;y) \in {\mathbb{N}^*}{\rm{x}}{\mathbb{N}^*}$ không? Câu 8: (3 điểm) Cho đường tròn $(I;R)$ và đường thẳng $\Delta$ với $d(I;\Delta)=d>R$. 2 điểm $M,N$ chạy trên $\Delta$ sao cho đường tròn đường kính $MN$ luôn tiếp xúc ngoài với $(I)$. Chứng minh tồn tại $1$ điểm cố định nhìn tất cả các đoạn $MN$ dưới một góc không đổi. Câu 9: (3 điểm) Xác định số thực $m$ lớn nhất sao cho với mọi $\vartriangle ABC$ nhọn, ta có: \[\left( {\tan A + \tan B - \sin C} \right)\left( {\tan B + \tan C - \sin A} \right)\left( {\tan C + \tan A - \sin B} \right) \ge m\left( {\sin 2A + \sin 2B + \sin 2C} \right)\] Câu 10: (3 điểm) Bạn tham gia một trò chơi với bộ bài gồm $m$ lá cơ và $n$ lá ách ($m>n$). Đầu tiên bạn có $10$ điểm. Sau đó, bạn rút $1$ lá bài từ bộ bài, rồi rút tiếp $1$ lá bài khác từ phần còn lại, cứ tiếp tục như thế cho đến lá bài cuối. Mỗi lần rút được lá cơ thì bạn được cộng $1$ điểm, nếu rút được lá ách thì bị trừ $1$ điểm. Cách tính điểm đó áp dụng cho đến cả lá bài cuối cùng còn lại. Có bao nhiêu cách rút bài sao cho sau mỗi lần rút bài, số điểm bạn đạt được không âm? Câu 11: (3 điểm) Cho song ánh $f$ từ $X = \left\{ {1;2;..;n} \right\}$ vào $X$. Với $n \in \mathbb{N}^*$, kí hiệu: \[{f^n} = f \circ f \circ ... \circ f\] \[{f^{ - n}} = {\left( {{f^{ - 1}}} \right)^n};{f^o} = id\] a) Chứng minh: \[{f^m} \circ {f^n} = {f^{m + n}},\forall m,n \in \mathbb{Z}\] b) Chứng minh: tồn tại $k \in \mathbb{N}^*$ sao cho $f^k(x)=x,\forall x \in X$
